Resolva, no conjunto dos números inteiros, a equação 2 x+3 y+5 z=11. Aliás, esta equação possui alguma solução no conjunto dos números naturais? Jusrtifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede as soluções inteiras da equação
2x + 3y + 5z = 11
e, em seguida, questiona se há alguma dessas soluções em números naturais. O conteúdo necessário é a teoria de equações diofantinas lineares: primeiro verificamos existência via o \gcd, depois achamos uma solução particular e, por fim, incorporamos as soluções da homogênea para obter a solução geral.

Passo 2

Calculamos o máximo divisor comum dos coeficientes:
\gcd(2,3,5) = 1.
Como 1 divide 11, concluímos que existem soluções inteiras.

Passo 3

Procuramos uma solução particular. Tomemos z=0. A equação reduz-se a
2x + 3y = 11.
Tentando y=1 vemos que
2x + 3\cdot1 = 11\quad\Longrightarrow\quad 2x = 8\quad\Longrightarrow\quad x=4.
Assim, (x_0,y_0,z_0) = (4,1,0) é uma solução particular.

Passo 4

Agora encontramos a solução geral da homogênea
2x + 3y + 5z = 0.
Escrevendo x em função de y,z:
2x = -3y -5z \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{-3y -5z}{2}.
Para x inteiro precisamos de -3y -5z\equiv 0\pmod2, isto é, y+z par. Colocamos
y = 2s - t, \quad z = t, \quad s,t\in\mathbb{Z}.
Então
x = \frac{-3(2s - t) -5t}{2} = \frac{-6s +3t -5t}{2} = -3s - t.
Logo a solução geral da homogênea é
(x,y,z) = (-3s - t,\;2s - t,\;t), \quad s,t\in\mathbb{Z}.

Passo 5

Somando a solução particular à geral da homogênea, obtemos a solução geral da equação original:
(x,y,z) = (4,1,0) + (-3s - t,\;2s - t,\;t) \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} x = 4 \,-\,3s \,-\,t,\\\ y = 1 \,+\,2s \,-\,t,\\\ z = t, \end{cases} \quad s,t\in\mathbb{Z}.

Passo 6

Para verificar se existe solução em \mathbb{N}, basta encontrar s,t tais que x,y,z\ge 0. Por exemplo, tomando s=0 e t=0 temos
(x,y,z) = (4,1,0),
que está em \mathbb{N}^3. Portanto há soluções no conjunto dos naturais.

Resposta

A solução geral em \mathbb{Z}\) é \[\begin{cases} x = 4 - 3s - t,\\\ y = 1 + 2s - t,\\\ z = t, \end{cases} \quad s,t\in\mathbb{Z}.
Sim, existem soluções em \mathbb{N}\]; por exemplo \((x,y,z)=(4,1,0).

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