Resolva, no conjunto dos números inteiros, a equação 2 x+3 y+5 z=11. Aliás, esta equação possui alguma solução no conjunto dos números naturais? Jusrtifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede as soluções inteiras da equação
2x + 3y + 5z = 11
e, em seguida, questiona se há alguma dessas soluções em números naturais. O conteúdo necessário é a teoria de equações diofantinas lineares: primeiro verificamos existência via o \gcd, depois achamos uma solução particular e, por fim, incorporamos as soluções da homogênea para obter a solução geral.
Passo 2
Calculamos o máximo divisor comum dos coeficientes:
\gcd(2,3,5) = 1.
Como 1 divide 11, concluímos que existem soluções inteiras.
Passo 3
Procuramos uma solução particular. Tomemos z=0. A equação reduz-se a