[32 pts] Considere a função z=f(x, y)=\sqrt{25-x^{2}-y^{2}}
(a) Determine e esboce o domínio de f(x, y)
(b) Determine a imagem de f(x, y)
(c) Esboce as curvas de nível C_{k} de z=f(x, y) para os valores de k=0,3,4,5
(d) Esboce o gráfico da superfície z=f(x, y)
(e) Determine a equação do plano tangente à superfície z=f(x, y) no ponto ( 0,3,4 ).

Passo 1

Temos a função de duas variáveis
z = f(x,y) = \sqrt{25 - x^2 - y^2},
e o enunciado pede: (a) domínio, (b) imagem, (c) curvas de nível para k=0,3,4,5, (d) esboço da superfície, (e) plano tangente em (0,3,4). Vamos usar conceitos de desigualdade para domínio, análise de máximos e mínimos para imagem, equações de nível, descrição geométrica de superfícies e derivadas parciais para o plano tangente.

Passo 2

Para achar o domínio, impomos o radicando não-negativo:
25 - x^2 - y^2 \ge 0
ou seja,
x^2 + y^2 \le 25.
Logo, o domínio é o disco fechado de raio 5 centrado na origem.

Passo 3

Para a imagem, notamos que z\ge0 (por ser raiz quadrada) e atinge valor máximo quando x^2+y^2 é mínimo, isto é, em (0,0). Então
\max z = \sqrt{25} = 5
e \min z=0 (na fronteira x^2+y^2=25). Portanto a imagem é
[0,\,5].

Passo 4

A curva de nível C_k satisfaz
\sqrt{25 - x^2 - y^2} = k
se e somente se
x^2 + y^2 = 25 - k^2,
com 0\le k\le5. Nos casos dados:
\;k=0\Rightarrow x^2+y^2=25 (raio 5),
\;k=3\Rightarrow x^2+y^2=16 (raio 4),
\;k=4\Rightarrow x^2+y^2=9 (raio 3),
\;k=5\Rightarrow x^2+y^2=0 (ponto na origem).

Passo 5

O gráfico da superfície é a parte superior da esfera de raio 5 centrada na origem, pois
x^2 + y^2 + z^2 = 25,
com z\ge0. É um hemisfério “arredondado” acima do plano xy.

Passo 6

Para o plano tangente em (0,3,4), calculamos as derivadas parciais:
f_x = \frac{-x}{\sqrt{25 - x^2 - y^2}},\quad f_y = \frac{-y}{\sqrt{25 - x^2 - y^2}}.
Em (0,3) no domínio temos \sqrt{25-0^2-3^2}=4, então
f_x(0,3) = 0,\quad f_y(0,3) = -\frac{3}{4}.
A equação do plano tangente é
z - 4 = 0\,(x-0) \;+\; \Bigl(-\tfrac{3}{4}\Bigr)(y-3),
ou
z - 4 = -\frac{3}{4}(y-3).

Resposta

a) Domínio: \{(x,y)\mid x^2+y^2\le25\}.
b) Imagem: [0,5].
c) Curvas C_k: x^2+y^2=25-k^2 para k=0,3,4,5 (raios 5, 4, 3 e 0).
d) Gráfico: hemisfério superior de raio 5 centrado na origem.
e) Plano tangente:
z - 4 = -\frac{3}{4}(y-3).

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