[32 pts] Considere a função
(a) Determine e esboce o domínio de
(b) Determine a imagem de
(c) Esboce as curvas de nível
de
para os valores de
(d) Esboce o gráfico da superfície
(e) Determine a equação do plano tangente à superfície
no ponto (
).
(a) Determine e esboce o domínio de
(b) Determine a imagem de
(c) Esboce as curvas de nível
(d) Esboce o gráfico da superfície
(e) Determine a equação do plano tangente à superfície
Passo 1
Temos a função de duas variáveis
e o enunciado pede: (a) domínio, (b) imagem, (c) curvas de nível para
, (d) esboço da superfície, (e) plano tangente em
. Vamos usar conceitos de desigualdade para domínio, análise de máximos e mínimos para imagem, equações de nível, descrição geométrica de superfícies e derivadas parciais para o plano tangente.
Passo 2
Para achar o domínio, impomos o radicando não-negativo:
ou seja,
Logo, o domínio é o disco fechado de raio
centrado na origem.
Passo 3
Para a imagem, notamos que
(por ser raiz quadrada) e atinge valor máximo quando
é mínimo, isto é, em
. Então
e
(na fronteira
). Portanto a imagem é
Passo 4
A curva de nível
satisfaz
se e somente se
com
. Nos casos dados:
(raio
),
(raio
),
(raio
),
(ponto na origem).
Passo 5
O gráfico da superfície é a parte superior da esfera de raio
centrada na origem, pois
com
. É um hemisfério “arredondado” acima do plano
.
Passo 6
Para o plano tangente em
, calculamos as derivadas parciais:
Em
no domínio temos
, então
A equação do plano tangente é
ou
Resposta
a) Domínio:
.
b) Imagem: .
c) Curvas :
para
(raios
,
,
e
).
d) Gráfico: hemisfério superior de raio centrado na origem.
e) Plano tangente:
b) Imagem:
c) Curvas
d) Gráfico: hemisfério superior de raio
e) Plano tangente: