17- Quantos são os anagramas da palavra “COMBINATORIA”? (considere O sem acento)
Passo 1
O enunciado pede: “Quantos são os anagramas da palavra ‘COMBINATORIA’ (considere O sem acento)?”\n
Informações dadas e que já podemos identificar diretamente do enunciado:\n
Informações dadas e que já podemos identificar diretamente do enunciado:\n
- A palavra é
.\n - Precisamos contar todas as rearrumações (anagramas) das letras dessa palavra.\n
- Devemos considerar letras iguais como indistinguíveis (por exemplo, dois
iguais não geram anagramas diferentes).\n - Vou usar todas as letras (ou seja, anagramas de mesmo comprimento da palavra original).
Passo 2
Contagem das letras da palavra. Vamos listar quantas vezes cada letra aparece (isto é informação importante que vem do enunciado, obtida ao olhar a palavra):\n
-
\n -
\n -
\n -
\n -
\n -
\n -
\n -
\n -
\n
Verificando a soma total das letras:. Portanto a palavra tem letras no total.
Passo 3
Explicação do princípio combinatório que vamos usar (aula rápida e prática).\n
- Se eu tivesse
objetos todos distintos, o número de maneiras de ordená-los (permutações) é . Aqui (lê-se "fatorial de ") significa .\n - Quando alguns objetos são indistinguíveis entre si (ou seja, há repetições), muitas das
ordens contam a mesma configuração: para cada grupo de objetos idênticos, as permutações entre eles não criam arranjos novos.\n - A fórmula geral para o número de anagramas (permutação de
elementos com repetições) é:
onde
é o total de elementos e
são as multiplicidades (quantas vezes cada letra repetida aparece).\n
Exemplo simples para fixar: a palavra “ANA” tem letras com
aparecendo
vezes e
aparecendo
vez. Pelo fórmulas são
anagramas (que são “ANA”, “AAN”, “NAA” — notação ilustrativa).
Exemplo simples para fixar: a palavra “ANA” tem
Passo 4
Aplicando a fórmula ao nosso caso. Já contamos que
. As letras que se repetem têm multiplicidade
cada:
aparecem
vezes. As demais aparecem
vez e contribuem como
no denominador (que não alteram o produto). Então o número de anagramas é
Passo 5
Simplificação e cálculo numérico passo a passo (sem pular etapas). Primeiro note que
. Logo
Agora vamos calcular
de modo progressivo e dividir por
cancelando quando conveniente para evitar números desnecessariamente grandes. Sabemos que
Como vamos dividir por
, podemos simplesmente cancelar o fator
no produto, ficando
Passo 6
Multiplicação organizada para obter o valor final (vou agrupar para facilitar cálculo manual):\n
-
.\n -
.\n -
.\n -
.\n -
.\n -
.\n -
.\n -
.\n -
.\n - Multiplicar por
não altera, então o resultado final é .\n
Portanto a quantidade de anagramas é.