17- Quantos são os anagramas da palavra “COMBINATORIA”? (considere O sem acento)

Passo 1

O enunciado pede: “Quantos são os anagramas da palavra ‘COMBINATORIA’ (considere O sem acento)?”\n
Informações dadas e que já podemos identificar diretamente do enunciado:\n
  • A palavra é \text{COMBINATORIA}.\n
  • Precisamos contar todas as rearrumações (anagramas) das letras dessa palavra.\n
  • Devemos considerar letras iguais como indistinguíveis (por exemplo, dois \text{O} iguais não geram anagramas diferentes).\n
  • Vou usar todas as letras (ou seja, anagramas de mesmo comprimento da palavra original).

Passo 2

Contagem das letras da palavra. Vamos listar quantas vezes cada letra aparece (isto é informação importante que vem do enunciado, obtida ao olhar a palavra):\n
  • \text{C}: 1\n
  • \text{O}: 2\n
  • \text{M}: 1\n
  • \text{B}: 1\n
  • \text{I}: 2\n
  • \text{N}: 1\n
  • \text{A}: 2\n
  • \text{T}: 1\n
  • \text{R}: 1\n
    Verificando a soma total das letras: 1+2+1+1+2+1+2+1+1 = 12. Portanto a palavra tem 12 letras no total.

Passo 3

Explicação do princípio combinatório que vamos usar (aula rápida e prática).\n
  • Se eu tivesse n objetos todos distintos, o número de maneiras de ordená-los (permutações) é n!. Aqui n! (lê-se "fatorial de n") significa \,n\times(n-1)\times\cdots\times2\times1.\n
  • Quando alguns objetos são indistinguíveis entre si (ou seja, há repetições), muitas das n! ordens contam a mesma configuração: para cada grupo de k objetos idênticos, as permutações entre eles não criam arranjos novos.\n
  • A fórmula geral para o número de anagramas (permutação de n elementos com repetições) é:
\frac{n!}{n_1!\,n_2!\,\cdots\,n_r!}
onde n é o total de elementos e n_1,n_2,\dots,n_r são as multiplicidades (quantas vezes cada letra repetida aparece).\n
Exemplo simples para fixar: a palavra “ANA” tem 3 letras com A aparecendo 2 vezes e N aparecendo 1 vez. Pelo fórmulas são \dfrac{3!}{2!1!}=\dfrac{6}{2}=3 anagramas (que são “ANA”, “AAN”, “NAA” — notação ilustrativa).

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso caso. Já contamos que n=12. As letras que se repetem têm multiplicidade 2 cada: \text{O}, \text{I}, \text{A} aparecem 2 vezes. As demais aparecem 1 vez e contribuem como 1! no denominador (que não alteram o produto). Então o número de anagramas é
\frac{12!}{2!\,2!\,2!}.

Passo 5

Simplificação e cálculo numérico passo a passo (sem pular etapas). Primeiro note que 2!\,2!\,2! = 2\cdot2\cdot2 = 8. Logo
\frac{12!}{2!\,2!\,2!} = \frac{12!}{8}.
Agora vamos calcular 12! de modo progressivo e dividir por 8 cancelando quando conveniente para evitar números desnecessariamente grandes. Sabemos que
12! = 12\times11\times10\times9\times8\times7\times6\times5\times4\times3\times2\times1.
Como vamos dividir por 8, podemos simplesmente cancelar o fator 8 no produto, ficando
\frac{12!}{8} = 12\times11\times10\times9\times7\times6\times5\times4\times3\times2\times1.

Passo 6

Multiplicação organizada para obter o valor final (vou agrupar para facilitar cálculo manual):\n
  • 12\times11 = 132.\n
  • 132\times10 = 1320.\n
  • 1320\times9 = 11880.\n
  • 11880\times7 = 83160.\n
  • 83160\times6 = 498960.\n
  • 498960\times5 = 2\,494\,800.\n
  • 2\,494\,800\times4 = 9\,979\,200.\n
  • 9\,979\,200\times3 = 29\,937\,600.\n
  • 29\,937\,600\times2 = 59\,875\,200.\n
  • Multiplicar por 1 não altera, então o resultado final é 59\,875\,200.\n
    Portanto a quantidade de anagramas é 59\,875\,200.

Resposta

\dfrac{12!}{2!\,2!\,2!}=59\,875\,200

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