20- Uma empresa de Engenharia está realizando um teste prático de equipes para avaliar eficiência em projetos de construção modular. Existem 10 técnicos disponíveis, e eles devem ser divididos em duas equipes de 5 pessoas cada. A equipe A será responsável por um projeto piloto e a equipe B por outro projeto independente. Quantas divisões diferentes das duas equipes são possíveis?

Passo 1

O enunciado diz que há 10 técnicos disponíveis e que devemos dividi-los em duas equipes de 5 pessoas cada. A equipe A fará o projeto piloto e a equipe B fará outro projeto independente. A pergunta é: quantas divisões diferentes das duas equipes são possíveis?
Informações relevantes:
  • Total de pessoas: 10.
  • Tamanho de cada equipe: 5 e 5.
  • As equipes são identificadas (há uma equipe A e uma equipe B), ou seja, trocar os membros entre A e B costuma gerar uma divisão diferente porque os projetos são distintos.
  • A escolha de quem fica em A determina automaticamente quem fica em B.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicando por que): como as equipes são rotuladas (há uma equipe A e uma equipe B), basta escolher quais 5 pessoas vão para a equipe A; as restantes 5 ficam em B. Portanto o problema reduz-se a calcular de quantas formas podemos escolher um subconjunto de 5 elementos a partir de um conjunto de 10 elementos — isto é, uma combinação.

Passo 3

Conceito usado (aula rápida sobre combinações): o número de maneiras de escolher k objetos dentre n sem considerar ordem é dado pelo coeficiente binomial
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}.
Aqui n! (fatorial de n) é o produto n \cdot (n-1) \cdot (n-2)\cdots 1. A ideia intuitiva: n! conta todas as permutações, mas para escolher um conjunto (sem ordem) dividimos pelas permutações internas do escolhido ( k!) e pelas permutações do que ficou de fora (n-k)! quando necessário; a fórmula resulta no número de subconjuntos de tamanho k.
Exemplo simples para fixar a ideia: com 4 pessoas, escolher 2 para formar uma equipe dá
\binom{4}{2}=\frac{4!}{2!2!}=\frac{24}{2\cdot2}=6,
ou seja, 6 pares distintos.

Passo 4

Aplicando ao problema: queremos \binom{10}{5}, pois escolhemos 5 de 10 para ser a equipe A.
\binom{10}{5}=\frac{10!}{5!\,5!}.

Passo 5

Cálculo detalhado e simplificado de \binom{10}{5}: escrevemos os fatores para simplificar sem calcular 10! completo:
\binom{10}{5}=\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}.
Agora simplificamos passo a passo (uma maneira prática sem grandes multiplicações):
  • 10/5=2, então o numerador fica 2\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6.
  • 8/4=2, numerador 2\cdot9\cdot2\cdot7\cdot6.
  • 6/3=2, numerador 2\cdot9\cdot2\cdot7\cdot2.
  • 2/2=1, removemos mais um 2 do denominador.
  • O denominador agora é 1, restam os fatores no numerador: 1\cdot9\cdot2\cdot7\cdot2.
Multiplicando em ordem fácil:
9\cdot2=18,\quad 18\cdot7=126,\quad 126\cdot2=252.
Assim
\binom{10}{5}=252.

Passo 6

Observação final para evitar confusão: se as equipes fossem indistinguíveis (ou seja, só importasse a partição em dois grupos de 5 sem rótulos), cada divisão seria contada duas vezes pela escolha de A (porque escolher o conjunto S para A e o complemento para B é o mesmo que escolher o complemento para A e S para B). Nesse caso dividiríamos por 2 e obteríamos 126. Mas no nosso enunciado as equipes têm funções diferentes (projetos distintos), então as equipes são rotuladas e a resposta correta é \binom{10}{5}=252.

Resposta

252

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