20- Uma empresa de Engenharia está realizando um teste prático de equipes para avaliar eficiência em projetos de construção modular. Existem 10 técnicos disponíveis, e eles devem ser divididos em duas equipes de 5 pessoas cada. A equipe A será responsável por um projeto piloto e a equipe B por outro projeto independente. Quantas divisões diferentes das duas equipes são possíveis?
Passo 1
O enunciado diz que há
técnicos disponíveis e que devemos dividi-los em duas equipes de
pessoas cada. A equipe
fará o projeto piloto e a equipe
fará outro projeto independente. A pergunta é: quantas divisões diferentes das duas equipes são possíveis?
Informações relevantes:
- Total de pessoas:
. - Tamanho de cada equipe:
e . - As equipes são identificadas (há uma equipe
e uma equipe ), ou seja, trocar os membros entre e costuma gerar uma divisão diferente porque os projetos são distintos. - A escolha de quem fica em
determina automaticamente quem fica em .
Passo 2
Estratégia escolhida (explicando por que): como as equipes são rotuladas (há uma equipe
e uma equipe
), basta escolher quais
pessoas vão para a equipe
; as restantes
ficam em
. Portanto o problema reduz-se a calcular de quantas formas podemos escolher um subconjunto de
elementos a partir de um conjunto de
elementos — isto é, uma combinação.
Passo 3
Conceito usado (aula rápida sobre combinações): o número de maneiras de escolher
objetos dentre
sem considerar ordem é dado pelo coeficiente binomial
Aqui
(fatorial de
) é o produto
. A ideia intuitiva:
conta todas as permutações, mas para escolher um conjunto (sem ordem) dividimos pelas permutações internas do escolhido (
) e pelas permutações do que ficou de fora
quando necessário; a fórmula resulta no número de subconjuntos de tamanho
.
Exemplo simples para fixar a ideia: com
pessoas, escolher
para formar uma equipe dá
ou seja,
pares distintos.
Passo 4
Aplicando ao problema: queremos
, pois escolhemos
de
para ser a equipe
.
Passo 5
Cálculo detalhado e simplificado de
: escrevemos os fatores para simplificar sem calcular
completo:
Agora simplificamos passo a passo (uma maneira prática sem grandes multiplicações):
-
, então o numerador fica . -
, numerador . -
, numerador . -
, removemos mais um do denominador. - O denominador agora é
, restam os fatores no numerador: .
Multiplicando em ordem fácil:
Assim
Passo 6
Observação final para evitar confusão: se as equipes fossem indistinguíveis (ou seja, só importasse a partição em dois grupos de
sem rótulos), cada divisão seria contada duas vezes pela escolha de
(porque escolher o conjunto
para
e o complemento para
é o mesmo que escolher o complemento para
e
para
). Nesse caso dividiríamos por
e obteríamos
. Mas no nosso enunciado as equipes têm funções diferentes (projetos distintos), então as equipes são rotuladas e a resposta correta é
.