21- Quantos são os anagramas da palavra “URUGUAIO” que começam por vogal?
Passo 1
O enunciado pede: “Quantos são os anagramas da palavra ‘URUGUAIO’ que começam por vogal?”
Informações dadas que vamos usar:
Informações dadas que vamos usar:
- A palavra é “URUGUAIO” (tem
letras no total). - As letras e suas multiplicidades: a letra
aparece vezes; as letras aparecem vez cada. - As vogais presentes são
(no total há vogais contando repetições) e as consoantes são .
Passo 2
Conceito-chave: permutações de objetos com repetições.
Se temos um total de objetos, mas entre eles existem grupos de objetos idênticos com multiplicidades
(onde
), o número de permutações distintas é dado por:
Se temos um total de
Explicando:
é o número de ordens possíveis se todas as letras fossem distintas; dividimos por cada
porque permutar entre si os objetos idênticos não cria novas permutações distintas.
Passo 3
Aplicando ao nosso caso sem ainda fixar a primeira letra:
e as multiplicidades são
,
,
,
,
,
.
Mas como queremos apenas anagramas que começam por vogal, é mais prático fixar a vogal na primeira posição e contar as permutações das letras restantes (com multiplicidades ajustadas).
Mas como queremos apenas anagramas que começam por vogal, é mais prático fixar a vogal na primeira posição e contar as permutações das
Passo 4
Estratégia (casos): considerar qual vogal ocupa a primeira posição. Há dois tipos de caso porque
aparece repetida e
aparecem simples:
- Caso 1: a primeira letra é
. - Caso 2: a primeira letra é
. - Caso 3: a primeira letra é
. - Caso 4: a primeira letra é
.
Para cada caso contamos as permutações dasletras restantes usando a fórmula do passo 2.
Passo 5
Caso 1 — primeira letra
:
Depois de colocar um em primeiro lugar, restam
letras com multiplicidades:
aparece agora
vezes, e
aparecem
vez cada. Pelo fórmula:
Depois de colocar um
Calculando:
, logo
.
Passo 6
Casos 2, 3 e 4 — primeira letra
,
ou
:
Se, por exemplo, colocamos primeiro, restam
letras com
aparecendo
vezes e
aparecendo
vez cada. Portanto, para cada uma dessas vogais:
Se, por exemplo, colocamos
Calculando:
. Como existem
vogais desse tipo (
), o total desses três casos é
.
Passo 7
Somando os casos: caso
deu
e os três casos
juntos deram
. Portanto o total de anagramas que começam por vogal é