21- Quantos são os anagramas da palavra “URUGUAIO” que começam por vogal?

Passo 1

O enunciado pede: “Quantos são os anagramas da palavra ‘URUGUAIO’ que começam por vogal?”
Informações dadas que vamos usar:
  • A palavra é “URUGUAIO” (tem 8 letras no total).
  • As letras e suas multiplicidades: a letra U aparece 3 vezes; as letras R,G,A,I,O aparecem 1 vez cada.
  • As vogais presentes são U,A,I,O (no total há 3+1+1+1=6 vogais contando repetições) e as consoantes são R,G.

Passo 2

Conceito-chave: permutações de objetos com repetições.
Se temos um total de n objetos, mas entre eles existem grupos de objetos idênticos com multiplicidades m_1,m_2,\dots,m_k (onde m_1+m_2+\dots+m_k=n), o número de permutações distintas é dado por:
\frac{n!}{m_1!\,m_2!\cdots m_k!}.
Explicando: n! é o número de ordens possíveis se todas as letras fossem distintas; dividimos por cada m_i! porque permutar entre si os objetos idênticos não cria novas permutações distintas.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso sem ainda fixar a primeira letra: n=8 e as multiplicidades são m_{U}=3, m_{R}=1, m_{G}=1, m_{A}=1, m_{I}=1, m_{O}=1.
Mas como queremos apenas anagramas que começam por vogal, é mais prático fixar a vogal na primeira posição e contar as permutações das 7 letras restantes (com multiplicidades ajustadas).

Passo 4

Estratégia (casos): considerar qual vogal ocupa a primeira posição. Há dois tipos de caso porque U aparece repetida e A,I,O aparecem simples:
  • Caso 1: a primeira letra é U.
  • Caso 2: a primeira letra é A.
  • Caso 3: a primeira letra é I.
  • Caso 4: a primeira letra é O.
    Para cada caso contamos as permutações das 7 letras restantes usando a fórmula do passo 2.

Passo 5

Caso 1 — primeira letra U:
Depois de colocar um U em primeiro lugar, restam 7 letras com multiplicidades: U aparece agora 2 vezes, e R,G,A,I,O aparecem 1 vez cada. Pelo fórmula:
\text{nº de anagramas nesse caso}=\frac{7!}{2!}.º
Calculando: 7!=5040, logo \frac{7!}{2!}=\frac{5040}{2}=2520.

Passo 6

Casos 2, 3 e 4 — primeira letra A, I ou O:
Se, por exemplo, colocamos A primeiro, restam 7 letras com U aparecendo 3 vezes e R,G,I,O aparecendo 1 vez cada. Portanto, para cada uma dessas vogais:
\text{nº de anagramas por vogal}=\frac{7!}{3!}.º
Calculando: \frac{7!}{3!}=\frac{5040}{6}=840. Como existem 3 vogais desse tipo ( A,I,O), o total desses três casos é 3\cdot 840=2520.

Passo 7

Somando os casos: caso U deu 2520 e os três casos A,I,O juntos deram 2520. Portanto o total de anagramas que começam por vogal é
2520+2520=5040.

Resposta

5040

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