6.17
Qual é a relação entre a dimensão de ação e a dimensão da constante de Planck?
Passo 1
O enunciado pergunta qual é a relação entre a dimensão de ação e a dimensão da constante de Planck. O conteúdo envolvido é análise dimensional em física: precisamos lembrar que ação tem dimensão de energia vezes tempo e que a constante de Planck
tem unidades de joule-segundo, logo devemos comparar essas duas dimensões.
Passo 2
Definimos a ação
em mecânica lagrangiana como a integral do lagrangiano (que tem dimensão de energia) em relação ao tempo. Logo a dimensão de
é dimensão de energia multiplicada por tempo:
Como energia tem dimensão
e tempo tem dimensão
, obtemos
Passo 3
A constante de Planck
é medida em joule-segundo. Um joule é
e o segundo é
, portanto
ou, em símbolos genéricos de análise dimensional,
Passo 4
Comparando os resultados, vemos que
Ou seja, a dimensão de ação é exatamente a mesma da constante de Planck.
Resposta
A dimensão de ação coincide com a dimensão da constante de Planck; ambas são
.