6.17
Qual é a relação entre a dimensão de ação e a dimensão da constante de Planck?

Passo 1

O enunciado pergunta qual é a relação entre a dimensão de ação e a dimensão da constante de Planck. O conteúdo envolvido é análise dimensional em física: precisamos lembrar que ação tem dimensão de energia vezes tempo e que a constante de Planck h tem unidades de joule-segundo, logo devemos comparar essas duas dimensões.

Passo 2

Definimos a ação S em mecânica lagrangiana como a integral do lagrangiano (que tem dimensão de energia) em relação ao tempo. Logo a dimensão de S é dimensão de energia multiplicada por tempo:
[S] = [energia];times;[tempo]
Como energia tem dimensão ML^2T^-2 e tempo tem dimensão T, obtemos
[S] = M,L^2,T^-2;times;T = M,L^2,T^-1

Passo 3

A constante de Planck h é medida em joule-segundo. Um joule é kg,m^2,s^-2 e o segundo é s, portanto
[h] = (kg,m^2,s^-2);times;s = kg,m^2,s^-1,
ou, em símbolos genéricos de análise dimensional,
[h] = M,L^2,T^-1

Passo 4

Comparando os resultados, vemos que
[S] = M,L^2,T^-1 e [h] = M,L^2,T^-1
Ou seja, a dimensão de ação é exatamente a mesma da constante de Planck.

Resposta

A dimensão de ação coincide com a dimensão da constante de Planck; ambas são M,L^2,T^-1.

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