4.17 De uma represa mantida em nível constante sai uma tubulação de ferro fundido novo, de 200 mm de diâmetro e 500 m de comprimento, que termina no fundo de um reservatório prismático de
de área e 5 m de altura, conforme a Figura 4.25. Estando inicialmente vazio o reservatório, abre-se o registro colocado em A. Calcular o tempo necessário para o enchimento completo do reservatório prismático. Assuma que durante o enchimento do reservatório o fator de atrito da tubulação seja constante, com valor médio
. Resolva o problema de duas maneiras distintas:
a) utilizando a Equaçāo 4.39 observando que, no caso, tem-se
.
b) utilizando a Equação 2.42 e observando que, pela equação da continuidade, em um tempo qualquer
, a vazão que entra no reservatório é dada por
, em que h é uma ordenada marcada positiva de cima para baixo a partir da cota
e A a área do reservatório.
Despreze as perdas de carga localizadas na tubulação.
a) utilizando a Equaçāo 4.39 observando que, no caso, tem-se
b) utilizando a Equação 2.42 e observando que, pela equação da continuidade, em um tempo qualquer
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados fornecidos.
- Pedido: calcular o tempo necessário para encher completamente o reservatório prismático de área
e altura partindo de vazio, quando a água escoa por uma tubulação de ferro fundido, de comprimento e diâmetro . - Dados numéricos (peguei todos do enunciado):
-
. -
. - Área do reservatório
. - Altura total do reservatório
(nível superior relativo ao fundo onde termina a tubulação). - Fator de atrito médio da tubulação
. - Desprezar perdas localizadas.
-
- Observações do enunciado sobre métodos:
- (a) usar a Equação 4.39 observando que
(interpreto isso como o reservatório fonte sendo muito grande, logo seu nível é praticamente constante). - (b) usar a Equação 2.42 e a continuidade, com a vazão no instante
dada por , sendo a ordenada relacionada ao nível de água do reservatório crescendo de 0 até .
- (a) usar a Equação 4.39 observando que
- Plano (não resolver ainda): vamos aplicar o princípio de Bernoulli entre superfície do reservatório fonte (nível constante) e a saída da tubulação no fundo do reservatório prismático; usar Darcy–Weisbach para o atrito na tubulação; relacionar
com a variação do nível do reservatório e integrar no tempo. Vou fazer isso de duas formas pedidas — ambas levam ao mesmo ODE integrável.
Passo 2
Conceitos fundamentais que vou usar (aula rápida e simples).
- Bernoulli entre dois pontos (1: superfície do reservatório fonte, 2: saída da tubulação, logo acima do ponto onde a água entra no tanque): a versão que usamos, desprezando perdas localizadas e assumindo pressão atmosférica nos dois pontos,
onde
é pressão,
densidade da água,
cotas,
velocidades médias nos pontos e
é a perda de carga por atrito (Darcy–Weisbach).
- Interpretações/hipóteses úteis:
- Superfície do reservatório fonte é grande → velocidade
. - Pressões nas superfícies são atmosféricas e se cancelam.
- No ponto 2 (saída da tubulação, no fundo do reservatório prismático) a pressão manométrica é dada pela profundidade de água no reservatório: se a altura da lâmina de água acima da saída for
, então . - Logo, a “carga disponível” que impulsiona o escoamento é
.
- Superfície do reservatório fonte é grande → velocidade
- Darcy–Weisbach para perda por atrito na tubulação (escoamento uniforme na tubulação):
onde
é o fator de atrito,
comprimento,
diâmetro,
velocidade média na tubulação.
- Continuidade entre vazão
, velocidade média e área da tubulação :
- Vínculo com o enchimento do reservatório (método b): a variação do nível
satisfaz
Essas fórmulas bastam para montar e integrar a ODE do enchimento.
Passo 3
Derivando a expressão para
(energia entre reservatório fonte e saída) — hipótese
(método (a) pedido).
- Aplicando Bernoulli entre a superfície do reservatório fonte (ponto 1) e a saída da tubulação no fundo do reservatório prismático (ponto 2), com
, e (cota do fundo), e sabendo que (profundidade de água acima da saída):
- Substituindo
pela expressão de Darcy–Weisbach:
- Isolando
:
- Então a vazão instantânea:
Aqui
é a profundidade (altura da lâmina) no reservatório prismático no instante
; ela varia de
até
.
Passo 4
Cálculo das constantes numéricas (área da tubulação, fator multiplicativo).
- Área da tubulação:
- Calcula-se o fator que aparece no denominador:
- A constante gravitacional:
. - Logo a expressão para
fica numericamente
Passo 5
Integração usando a hipótese do reservatório fonte praticamente constante (método (a) — forma direta). Montagem do ODE e solução.
- A equação de continuidade para o reservatório prismático (nível
aumenta conforme entra ) é
- Substituindo
obtido no passo anterior:
- Esta é uma ODE separável. Denoto a constante
- Então
- Separando e integrando de
(início, reservatório vazio) até (cheio):
- Faça a substituição
, . O integral fica
- Agora calculo
numericamente:
- Tempo de enchimento:
Calculando numericamente:
Convertendo:
Passo 6
Método (b): usar a Equação 2.42 + continuidade (
). Derivação e integração (esta é a mesma ODE escrita com notação
).
- No enunciado
é a ordenada positiva de cima para baixo a partir da cota . Se tomarmos como a profundidade do reservatório (altura de água acima da saída, medida a partir do fundo), então . A equação da continuidade dada é com sinal escolhido conforme orientação; eu uso a forma positiva de crescimento:
- Usando Bernoulli e Darcy–Weisbach como no passo 3 obtemos novamente
- Substituindo em
obtém-se a mesma ODE do método (a):
com
exatamente igual ao encontrado antes. A integração é idêntica e leva ao mesmo resultado
Passo 7
Interpretação final, checagens e comentário pedagógico.
- Ambos os métodos pedem essencialmente a mesma modelagem física: Bernoulli entre superfície fonte (constante) e saída submersa no tanque + perda de carga Darcy–Weisbach + continuidade do tanque. Por isso ambos convergem para a mesma ODE e o mesmo resultado numérico.
- Observação importante de prova: o fator
pode ser muito maior que 1 quando é grande — aqui — e então a velocidade fica fortemente reduzida pela perda por atrito. Sempre calcule esse fator antes de aproximar. - Unidade e ordem de grandeza:
, ou cerca de minutos — faz sentido físico: tubo relativamente estreito e longo com alto atrito, preenchimento não é instantâneo.
Resposta
(a)
.
(b)
.