4.8 Thês reservatórios \mathrm{A}, \mathrm{B} e C são conectados por três tubulações que se juntam no ponto J. O nível do reservatório B está 20 m acima do nível de C e o nível de A está 40 m acima de B. Uma válvula de controle de vazāo é instalada na tubulação AJ, imediatamente a montante de J. A equação de resistência de todas as tubulações e da válvula é dada por, \Delta H(m)=\mathrm{rQ}^{2}, em que r é o coeficiente de resistência e Q, a vazão \mathrm{em} \mathrm{m}^{3} / \mathrm{s}. Os valores de \mathrm{r}^{2} para as três tubulações são: \mathrm{r}_{\mathrm{AJ}}=150, \mathrm{r}_{\mathrm{BJ}}=200 e \mathrm{r}_{\mathrm{CJ}}=300. Determine o valor do coeficiente r de resistência da válvula \Delta \mathrm{Hv}(\mathrm{m})= \mathrm{rQ}^{2} para que a vazão que chega ao reservatório C seja o dobro da que chega ao reservatório B .

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados geométricos dos níveis (peguei do enunciado):
    • O nível do reservatório C escolho como referência: H_C=0.
    • O nível do reservatório B está 20 m acima de C: H_B-H_C=20\Rightarrow H_B=20.
    • O nível do reservatório A está 40 m acima de B: H_A-H_B=40\Rightarrow H_A=60.
  • A equação de perda ao longo de qualquer tubulação (ou válvula) é \Delta H = r Q^2,em que r é o coeficiente de resistência da tubulação (ou válvula) e Q a vazão em \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
  • Valores de r das tubulações (peguei do enunciado):
    • r_{AJ}=150,
    • r_{BJ}=200,
    • r_{CJ}=300.
  • A válvula na tubulação AJ tem coeficiente r_v desconhecido; deseja-se determinar r_v.
  • Condição exigida pelo enunciado: a vazão que chega ao reservatório C deve ser o dobro da que chega ao reservatório B. Em símbolos: Q_C = 2\,Q_B.
O objetivo final: encontrar o valor de r_v que satisfaz todos os itens acima.

Passo 2

Modelagem física e definições de vazões (explicando passo a passo).
  • Denoto por Q_A a vazão que vai do reservatório A até o ponto J pela tubulação AJ.
  • Denoto por Q_B a vazão que vai do reservatório B até J pela tubulação BJ.
  • Denoto por Q_C a vazão na tubulação CJ entre J e C. Pelo enunciado, a junção das três tubulações ocorre no ponto J.
Conservação de massa no nó J (continuidade): a soma das vazões que chegam a J pelas tubulações ligadas aos reservatórios mais altos deve igualar a vazão que sai para o reservatório mais baixo. No nosso arranjo físico, as vazões de A e B alimentam C através de J. Assim:
Q_C = Q_A + Q_B.
A condição pedida é Q_C = 2\,Q_B. Substituindo na continuidade:
2\,Q_B = Q_A + Q_B \quad\Rightarrow\quad Q_A = Q_B.
Portanto, para que Q_C seja o dobro de Q_B é necessário que Q_A e Q_B sejam iguais. Vou chamar essa vazão comum de Q:
Q_A = Q_B = Q,\qquad Q_C = 2Q.

Passo 3

Equações de energia (cabeçalho teórico e como aplicamos).
  • Em escoamentos entre um reservatório (superfície livre) e o nó J podemos escrever que a diferença de cota/energia entre a superfície do reservatório e o nó J é igual à perda no ramo:
    H_{\text{reservatório}} - H_J = r_{\text{ramo}}\,Q_{\text{ramo}}^2.ó
    Aqui H_J é a carga hidráulica (cota de energia) no ponto J — desconhecida — e r_{\text{ramo}} é o coeficiente total de resistência do ramo (somatório se houver válvula + tubulação).
  • Escrevo uma equação por ramo:
    • Para AJ (lembrando que há a válvula): a resistência total é r_{AJ}+r_v. Assim H_A - H_J = (r_{AJ}+r_v)\,Q_A^2.
    • Para BJ: H_B - H_J = r_{BJ}\,Q_B^2.
    • Para CJ: note que o sentido é de J para C, portanto H_J - H_C = r_{CJ}\,Q_C^2.
Essas três equações vão permitir eliminar H_J e Q e obter r_v.

Passo 4

Substituição dos valores de nível e da igualdade de vazões.
  • Usei H_C=0, H_B=20, H_A=60 (passo 1).
  • Usei Q_A=Q_B=Q e Q_C=2Q (passo 2).
Agora substituo nas equações do passo anterior:
H_A - H_J = (r_{AJ}+r_v)\,Q^2,
H_B - H_J = r_{BJ}\,Q^2,
H_J - 0 = r_{CJ}\,(2Q)^2 = 4\,r_{CJ}\,Q^2.

Passo 5

Eliminação de H_J usando as equações de B e C para obter Q^2.
  • Da equação do ramo BJ: H_J = H_B - r_{BJ}\,Q^2.
  • Da equação do ramo CJ: H_J = 4\,r_{CJ}\,Q^2.
  • Igualando as duas expressões de H_J: H_B - r_{BJ}\,Q^2 = 4\,r_{CJ}\,Q^2.
  • Reorganizando: H_B = \bigl(r_{BJ} + 4\,r_{CJ}\bigr)\,Q^2.
  • Logo: Q^2 = \dfrac{H_B}{\,r_{BJ} + 4\,r_{CJ}\,}.
Isto dá Q^2 em termos dos dados conhecidos.

Passo 6

Cálculo numérico de Q^2 com os valores fornecidos.
  • Substituo H_B=20, r_{BJ}=200, r_{CJ}=300: r_{BJ} + 4\,r_{CJ} = 200 + 4\cdot300 = 200 + 1200 = 1400.
  • Assim Q^2 = \dfrac{20}{1400} = \dfrac{1}{70}\approx 0,0142857\\ (\mathrm{m}^6/\mathrm{s}^2).

Passo 7

Uso da equação do ramo AJ para obter r_v.
  • A equação do ramo AJ era H_A - H_J = (r_{AJ}+r_v)\,Q^2.
  • Substituo H_J pela expressão obtida em CJ: H_J = 4\,r_{CJ}\,Q^2. Então H_A - 4\,r_{CJ}\,Q^2 = (r_{AJ}+r_v)\,Q^2.
  • Isolando r_v: r_v = \dfrac{H_A}{Q^2} - r_{AJ} - 4\,r_{CJ}.

Passo 8

Substituição numérica final e cálculo do resultado.
  • Substituo H_A=60, Q^2=\dfrac{1}{70}, r_{AJ}=150, r_{CJ}=300.
  • Primeiro calculei \dfrac{H_A}{Q^2} = 60 \div \left(\dfrac{1}{70}\right) = 60\cdot70 = 4200.
  • Em seguida r_v = 4200 - 150 - 4\cdot300 = 4200 - 150 - 1200 = 2850.

Resposta

2850

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