4.8 Thês reservatórios
e C são conectados por três tubulações que se juntam no ponto J. O nível do reservatório B está 20 m acima do nível de C e o nível de A está 40 m acima de B. Uma válvula de controle de vazāo é instalada na tubulação AJ, imediatamente a montante de J. A equação de resistência de todas as tubulações e da válvula é dada por,
, em que r é o coeficiente de resistência e Q, a vazão
. Os valores de
para as três tubulações são:
e
. Determine o valor do coeficiente r de resistência da válvula
para que a vazão que chega ao reservatório C seja o dobro da que chega ao reservatório B .
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados geométricos dos níveis (peguei do enunciado):
- O nível do reservatório C escolho como referência:
. - O nível do reservatório B está
m acima de C: . - O nível do reservatório A está
m acima de B: .
- O nível do reservatório C escolho como referência:
- A equação de perda ao longo de qualquer tubulação (ou válvula) é
em que é o coeficiente de resistência da tubulação (ou válvula) e a vazão em . - Valores de
das tubulações (peguei do enunciado): -
, -
, -
.
-
- A válvula na tubulação
tem coeficiente desconhecido; deseja-se determinar . - Condição exigida pelo enunciado: a vazão que chega ao reservatório
deve ser o dobro da que chega ao reservatório . Em símbolos:
O objetivo final: encontrar o valor de
que satisfaz todos os itens acima.
Passo 2
Modelagem física e definições de vazões (explicando passo a passo).
- Denoto por
a vazão que vai do reservatório até o ponto pela tubulação . - Denoto por
a vazão que vai do reservatório até pela tubulação . - Denoto por
a vazão na tubulação entre e . Pelo enunciado, a junção das três tubulações ocorre no ponto .
Conservação de massa no nó
(continuidade): a soma das vazões que chegam a
pelas tubulações ligadas aos reservatórios mais altos deve igualar a vazão que sai para o reservatório mais baixo. No nosso arranjo físico, as vazões de
e
alimentam
através de
. Assim:
A condição pedida é
. Substituindo na continuidade:
Portanto, para que
seja o dobro de
é necessário que
e
sejam iguais. Vou chamar essa vazão comum de
:
Passo 3
Equações de energia (cabeçalho teórico e como aplicamos).
-
Em escoamentos entre um reservatório (superfície livre) e o nó
podemos escrever que a diferença de cota/energia entre a superfície do reservatório e o nó é igual à perda no ramo: Aquié a carga hidráulica (cota de energia) no ponto — desconhecida — e é o coeficiente total de resistência do ramo (somatório se houver válvula + tubulação). -
Escrevo uma equação por ramo:
- Para
(lembrando que há a válvula): a resistência total é . Assim - Para
: - Para
: note que o sentido é de para , portanto
- Para
Essas três equações vão permitir eliminar
e
e obter
.
Passo 4
Substituição dos valores de nível e da igualdade de vazões.
- Usei
, , (passo 1). - Usei
e (passo 2).
Agora substituo nas equações do passo anterior:
Passo 5
Eliminação de
usando as equações de
e
para obter
.
- Da equação do ramo
: - Da equação do ramo
: - Igualando as duas expressões de
: - Reorganizando:
- Logo:
Isto dá
em termos dos dados conhecidos.
Passo 6
Cálculo numérico de
com os valores fornecidos.
- Substituo
, , : - Assim
Passo 7
Uso da equação do ramo
para obter
.
- A equação do ramo
era - Substituo
pela expressão obtida em : . Então - Isolando
:
Passo 8
Substituição numérica final e cálculo do resultado.
- Substituo
, , , . - Primeiro calculei
- Em seguida