2.17: São conhecidos, para um determinado solo, as seguintes informações.
Teor de Umidade
Massa Específica
Natural \left(\mathrm{g} / \mathrm{cm}^{3}\right)
Massa Específica dos
Grãos Sólidos \left(\mathrm{g} / \mathrm{cm}^{3}\right)
12,0 \% 1,8 2,7
Calcule:
a) Massa específica aparente seca;
b) Grau de saturação;

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas.
Dados fornecidos:
  • Teor de umidade: w = 12{,}0\% = 0{,}12.
  • Massa específica natural (massa volumétrica do solo úmido): \rho = 1{,}8\\ \mathrm{g/cm^3}.
  • Massa específica dos grãos sólidos (densidade dos grãos): \rho_s = 2{,}7\\ \mathrm{g/cm^3}.
O que o enunciado pede:
  • (a) a massa específica aparente seca, ou seja \rho_d (massa de sólidos por unidade de volume do solo, sem a água);
  • (b) o grau de saturação S_r (fração do volume de vazios preenchida por água, normalmente expresso em %).

Passo 2

Entendendo e deduzindo a fórmula para \rho_d.
Definições úteis (explicadas com calma):
  • m_s = massa dos sólidos (secos).
  • m_w = massa da água presente.
  • m = m_s + m_w = massa total da amostra úmida.
  • V = volume total da amostra.
  • A massa específica natural \rho é a massa úmida por volume total:
\rho = \frac{m}{V}.
  • O teor de umidade w é definido por (forma usual em mecânica dos solos):
w = \frac{m_w}{m_s}.
  • A massa específica aparente seca \rho_d é a massa dos sólidos por volume total:
\rho_d = \frac{m_s}{V}.
Agora relacionamos \rho, w e \rho_d. Como m = m_s(1+w), temos
\rho = \frac{m}{V} = \frac{m_s(1+w)}{V} = \rho_d(1+w).
Isolando \rho_d:
\rho_d = \frac{\rho}{1+w}.

Passo 3

Cálculo numérico de \rho_d (mostrar conta sem calculadora onde possível).
Substituindo \rho = 1{,}8 e w = 0{,}12:
\rho_d = \frac{1{,}8}{1+0{,}12} = \frac{1{,}8}{1{,}12}.
Para facilitar a conta, multiplico numerador e denominador por 100:
\frac{1{,}8}{1{,}12}=\frac{180}{112}=\frac{45}{28}.
Convertendo para decimal:
\frac{45}{28}\approx 1{,}607142857\\ \mathrm{g/cm^3}.
Arredondando de forma prática para a prova, pode-se usar \rho_d \approx 1{,}61\\ \mathrm{g/cm^3}, mas guardarei mais casas para evitar arredondamento precoce.

Passo 4

Passos e fórmulas para encontrar o grau de saturação S_r.
Definições adicionais e relações:
  • Porosidade n é a fração do volume total ocupada por vazios:
n = \frac{V_v}{V}.
  • Relação entre \rho_d, \rho_s e n: a massa de sólidos é \rho_s V_s e V_s = V(1-n), então
\rho_d = \rho_s(1-n).
Isolando n:
n = 1 - \frac{\rho_d}{\rho_s}.
  • Grau de saturação S_r é a razão entre o volume de água V_w e o volume de vazios V_v:
S_r = \frac{V_w}{V_v}.
Como V_w = \dfrac{m_w}{\rho_w} e m_w = w m_s, e m_s=\rho_d V, e V_v = nV, obtemos a forma prática:
S_r = \frac{w\,\rho_d}{n\,\rho_w},
onde \rho_w é a massa específica da água ( \rho_w \approx 1{,}0\\ \mathrm{g/cm^3}).

Passo 5

Cálculo da porosidade n com os valores encontrados.
Usando \rho_d=\dfrac{45}{28}\\ \mathrm{g/cm^3} e \rho_s=2{,}7=\dfrac{27}{10}\\ \mathrm{g/cm^3}:
\frac{\rho_d}{\rho_s}=\frac{45/28}{27/10}=\frac{45}{28}\cdot\frac{10}{27}=\frac{450}{756}=\frac{25}{42}.
Portanto
n = 1 - \frac{25}{42} = \frac{17}{42}\approx 0{,}4047619.
Como porcentagem de vazios: n \approx 40{,}48\%.

Passo 6

Cálculo do grau de saturação S_r.
Usando a fórmula \displaystyle S_r=\frac{w\,\rho_d}{n\,\rho_w} e \rho_w=1{,}0\\ \mathrm{g/cm^3}:
  • Primeiro calculei w\,\rho_d:
w\,\rho_d = 0{,}12\cdot\frac{45}{28} = \frac{12}{100}\cdot\frac{45}{28} = \frac{27}{140}.
  • Depois dividi por n=\dfrac{17}{42}:
S_r = \frac{\dfrac{27}{140}}{\dfrac{17}{42}} = \frac{27}{140}\cdot\frac{42}{17} = \frac{27\cdot 3}{10\cdot 17} = \frac{81}{170}.
Convertendo para decimal:
\frac{81}{170}\approx 0{,}476470588 \approx 0{,}47647.
Como porcentagem:
S_r \approx 47{,}65\%.
Interpretação prática: o solo está aproximadamente 47,6% saturado — ou seja, pouco menos da metade do volume de vazios contém água.

Resposta

(a) \rho_d = 1{,}607\\ \mathrm{g/cm^3}
(b) S_r = 0{,}47647 \approx 47{,}65\%

Exercícios relacionados