1 (40 pontos) A velocidade de uma partícula que se desloca em linha reta é dada por v=\left(c t^{2}-f t\right), onde c=1,03 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{3}, f=4,17 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} e t é dado em segundos. A posição em t=0 é x=6,69 \mathrm{~m}. É útil saber que \int_{a}^{b} e t^{n} d t=\left.\frac{c}{n+1} t^{n+1}\right|_{a} ^{b}=\frac{c}{n+1}\left(b^{n+1}-a^{n+1}\right), onde a, b e e são constantes.
(a) Calcule o instante de tempo em que a partícula inverte o sentido do seu movimento.
(a)
(d) Faça um gráfico da aceleração em função do tempo e indique nele como se pode obter a variação da velocidade entre os instantes inicial e o calculado no item anterior.
(d)
questão aberta, responda na folha avulsa
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
Dados fornecidos (pegue-os do enunciado):
A velocidade é \,v = \bigl(c\,t^{2} - f\,t\bigr)\,, com c = 1{,}03\\ \text{m}\!/\text{s}^{3} e f = 4{,}17\\ \text{m}\!/\text{s}^{2}.
A posição em t=0 é x(0)=6{,}69\\ \text{m}.
Temporal t em segundos.
O enunciado pede:
(a) Calcular o instante de tempo em que a partícula inverte o sentido do seu movimento.
(b) Calcular o deslocamento entre a posição inicial e a posição em t=9{,}89\\ \text{s}.
(c) Calcular o instante de tempo em que a aceleração é zero.
(d) Fazer um gráfico de a em função de t e indicar nele como obter a variação da velocidade entre t=0 e o instante calculado no item (c).
Observação: todas as fórmulas e variáveis serão tratadas explicitamente nos passos seguintes.
Passo 2
Entender o que significa “inverter o sentido do movimento” e como calcular isso.
Interpretação física simples: a partícula inverte o sentido quando sua velocidade passa por zero (muda de sinal). Logo devemos resolver a equação
v(t)=0 \quad\Longrightarrow\quad c\,t^{2}-f\,t=0.
Esta é uma equação polinomial que fatoramos:
c\,t^{2}-f\,t = t\bigl(c\,t-f\bigr)=0.
As soluções são t=0 e t=\dfrac{f}{c}. t=0 é o instante inicial; a inversão “não-trivial” ocorre em t=\dfrac{f}{c}.
Portanto:\Delta x = 332{,}1275066 - 203{,}9382285 \approx 128{,}1892781\\ \text{m}.Arredondando conforme as alternativas, isso dá aproximadamente 128\\ \text{m}.
Observação física: este \Delta x é a variação de posição entre t=0 e t=9{,}89\\ \text{s}. A posição final seria x(9{,}89)=x(0)+\Delta x=6{,}69+128{,}19, mas o enunciado pediu apenas o deslocamento.
Passo 4
Calcular a aceleração e achar quando ela é zero — vamos derivar e explicar o porquê.
Definição usada: aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
a(t)=\frac{dv}{dt}.
Como v(t)=c\,t^{2}-f\,t, derivando termo a termo obtemos (regra de potência: \dfrac{d}{dt}t^{n}=n\,t^{n-1}):
No eixo vertical (ordenadas) colocar a em \text{m/s}^{2}.
No eixo horizontal (abscissas) colocar t em \text{s}.
A reta tem intercepto a(0)=-4{,}17 (ponto em t=0 no valor -4{,}17).
A inclinação (coeficiente angular) é 2{,}06 — a reta sobe com essa taxa.
A reta cruza o eixo t (onde a=0) em t=\dfrac{f}{2c}\approx 2{,}02\\ \text{s}. Marque esse ponto.
Como obter a variação da velocidade entre t=0 e t=t_{\text{a}=0} a partir do gráfico:
Teorema fundamental do cálculo: a variação de velocidade entre t_{1} e t_{2} é a integral da aceleração:\Delta v = v(t_{2})-v(t_{1}) = \int_{t_{1}}^{t_{2}} a(t)\,dt.
Geometricamente, no gráfico a(t) vs t, essa integral é a área algébrica sob a curva a(t) entre t_{1} e t_{2} (área acima do eixo t positiva, abaixo negativa).
No nosso caso, entre t=0 e t=t_{\text{a}=0} a aceleração é negativa (pois parte da reta está abaixo do eixo até o zero), então a área tem sinal negativo; essa área é exatamente \Delta v.
Podemos calcular essa \Delta v explicitamente (checar numericamente):
Usando a primitiva de a(t):\int a(t)\,dt = \int (2c\,t - f)\,dt = c\,t^{2} - f\,t + C.
Portanto, para t_{0}=t_{\text{a}=0}=\dfrac{f}{2c} e t_{1}=0,\Delta v = \bigl[c\,t^{2}-f\,t\bigr]_{0}^{t_{0}} = c\,t_{0}^{2}-f\,t_{0}.
No gráfico, para indicar isso: sombrear a região entre a reta a(t) e o eixo t desde t=0 até t\approx 2{,}02\\ \text{s}. A área sombreada (com sinal) é igual a \Delta v. Como a área está abaixo do eixo, o resultado é negativo.
(c) t tal que a(t)=0\Rightarrow t=\dfrac{f}{2c}\approx 2{,}02\\ \text{s}
(d) a(t)=2c\,t-f=2{,}06\,t-4{,}17 (m/s^2); no gráfico é uma reta que corta o eixo t em t\approx 2{,}02\\ \text{s}. A variação de velocidade entre 0 e 2{,}02\\ \text{s} é a área algébrica sob a(t) nesse intervalo, numericamente \Delta v=-\dfrac{f^{2}}{4c}\approx -4{,}22\\ \text{m/s}.