1 (40 pontos) A velocidade de uma partícula que se desloca em linha reta é dada por v=\left(c t^{2}-f t\right), onde c=1,03 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{3}, f=4,17 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} e t é dado em segundos. A posição em t=0 é x=6,69 \mathrm{~m}. É útil saber que \int_{a}^{b} e t^{n} d t=\left.\frac{c}{n+1} t^{n+1}\right|_{a} ^{b}=\frac{c}{n+1}\left(b^{n+1}-a^{n+1}\right), onde a, b e e são constantes.
(a) Calcule o instante de tempo em que a partícula inverte o sentido do seu movimento.
(a)
\begin{array}{|l|} \hline \text { (A) } 5,97 \mathrm{~s}, \text { (B) } 1,92 \mathrm{~s}, \text { \text{(C)} } 3,24 \mathrm{~s}, \text { (D) } 2,90 \mathrm{~s}, \text { (E) } 3,60 \mathrm{~s}, \text { (F) } 4,54 \mathrm{~s}, \text { (G) } 5,42 \mathrm{~s}, \text { (H) } 2,16 \mathrm{~s}, \text { (I) } 4,05 \mathrm{~s}, \text { (J) } 1,70 \mathrm{~s}, \\\ \text { (K) } 2,46 \mathrm{~s}, \end{array}
(b) Calcule o deslocamento entre a posição inicial e aquela em t=9,89 \mathrm{~s}.
(b)
\begin{array}{|l|} \hline \text { (A) } 277 \mathrm{~m} \text {, (B) } 44,3 \mathrm{~m} \text {, \text{(C)} } 14,0 \mathrm{~m} \text {, (D) } 18,4 \mathrm{~m} \text {, (E) } 6,70 \mathrm{~m} \text {, (F) } 56,2 \mathrm{~m} \text {, (G) } 114 \mathrm{~m} \text {, (H) } 38,0 \mathrm{~m} \text {, (I) } 128 \mathrm{~m}, \\\ \text { (J) } 29,2 \mathrm{~m} \text {, (K) } 21,5 \mathrm{~m} \text {, (L) } 152 \mathrm{~m} \text {, (M) } 75,1 \mathrm{~m} \text {, (N) } 95,9 \mathrm{~m} \text {, (O) } 170 \mathrm{~m} \text {, (P) } 12,7 \mathrm{~m}, \\\ \hline \end{array}
(c) Calcule o instante de tempo em que a aceleração é zero.
(c)
\begin{array}{|l|} \hline \text { (A) } 4,05 \mathrm{~s} \text {, (B) } 2,02 \mathrm{~s} \text {, \text{(C)} } 1,46 \mathrm{~s} \text {, (D) } 0,913 \mathrm{~s} \text {, (E) } 1,73 \mathrm{~s} \text {, (F) } 2,94 \mathrm{~s} \text {, (G) } 2,37 \mathrm{~s} \text {, (H) } 4,88 \mathrm{~s} \text {, (I) } 4,52 \mathrm{~s} \text {, (J) } 1,22 \mathrm{~s}, \\\ \text { (K) } 3,55 \mathrm{~s} \text {, (L) } 1,13 \mathrm{~s} \text {, (M) } 0,961 \mathrm{~s} \text {, (N) } 2,78 \mathrm{~s} \text {, (O) } 2,59 \mathrm{~s} \text {, (P) } 1,05 \mathrm{~s} \\\ \hline \end{array}
(d) Faça um gráfico da aceleração em função do tempo e indique nele como se pode obter a variação da velocidade entre os instantes inicial e o calculado no item anterior.
(d)
questão aberta, responda na folha avulsa

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dados fornecidos (pegue-os do enunciado):
    • A velocidade é \,v = \bigl(c\,t^{2} - f\,t\bigr)\,, com c = 1{,}03\\ \text{m}\!/\text{s}^{3} e f = 4{,}17\\ \text{m}\!/\text{s}^{2}.
    • A posição em t=0 é x(0)=6{,}69\\ \text{m}.
    • Temporal t em segundos.
  • O enunciado pede:
    (a) Calcular o instante de tempo em que a partícula inverte o sentido do seu movimento.
    (b) Calcular o deslocamento entre a posição inicial e a posição em t=9{,}89\\ \text{s}.
    (c) Calcular o instante de tempo em que a aceleração é zero.
    (d) Fazer um gráfico de a em função de t e indicar nele como obter a variação da velocidade entre t=0 e o instante calculado no item (c).
Observação: todas as fórmulas e variáveis serão tratadas explicitamente nos passos seguintes.

Passo 2

Entender o que significa “inverter o sentido do movimento” e como calcular isso.
  • Interpretação física simples: a partícula inverte o sentido quando sua velocidade passa por zero (muda de sinal). Logo devemos resolver a equação
v(t)=0 \quad\Longrightarrow\quad c\,t^{2}-f\,t=0.
  • Esta é uma equação polinomial que fatoramos:
c\,t^{2}-f\,t = t\bigl(c\,t-f\bigr)=0.
  • As soluções são t=0 e t=\dfrac{f}{c}. t=0 é o instante inicial; a inversão “não-trivial” ocorre em t=\dfrac{f}{c}.
Agora vamos calcular numericamente:
t_{\text{inversão}}=\frac{f}{c}=\frac{4{,}17}{1{,}03}.ã
Efetuando a divisão:
\frac{4{,}17}{1{,}03}\approx 4{,}048543689\\ \text{s}.
Arredondando conforme as alternativas:
t_{\text{inversão}}\approx 4{,}05\\ \text{s}.ã

Passo 3

Calcular o deslocamento entre t=0 e t=9{,}89\\ \text{s} usando integração — e ensinar o procedimento.
  • Lembrete de teoria (fórmula de integral de potências, explicada de forma simples):
    Se tiver uma constante A e uma potência t^{n}, então
    \int A\,t^{n}\,dt = A\cdot\frac{t^{n+1}}{n+1} + C,
    onde C é a constante de integração. Para um integral definido de a até b,
    \int_{a}^{b} A\,t^{n}\,dt = A\frac{b^{\,n+1}-a^{\,n+1}}{n+1}.
    (Isto é exatamente o que o enunciado indicou, só trocando nomes de constantes.)
  • O deslocamento \Delta x entre t=0 e t=T é a integral da velocidade:
    \Delta x = x(T)-x(0)=\int_{0}^{T} v(t)\,dt = \int_{0}^{T}\bigl(c\,t^{2}-f\,t\bigr)\,dt.
    Aplicando a regra de integração termo a termo:
    \int_{0}^{T} c\,t^{2}\,dt = c\cdot\frac{T^{3}}{3},\qquad \int_{0}^{T} f\,t\,dt = f\cdot\frac{T^{2}}{2}.
    Logo
    \Delta x = c\frac{T^{3}}{3} - f\frac{T^{2}}{2}.
  • Agora substituímos T=9{,}89\\ \text{s}, c=1{,}03 e f=4{,}17. Primeiro calculemos potências de T:
    T^{2} = 9{,}89^{2} = 97{,}8121,
T^{3} = 9{,}89^{3}\approx 967{,}361669.
(Mostrei os passos: 9{,}89^{2}=97{,}8121 e multiplicando por 9{,}89 obtém-se 967{,}361669.)
  • Agora os termos: c\frac{T^{3}}{3} = 1{,}03\cdot\frac{967{,}361669}{3} = \frac{996{,}38251967}{3}\approx 332{,}1275066\\ \text{m},
f\frac{T^{2}}{2} = 4{,}17\cdot\frac{97{,}8121}{2} = \frac{407{,}876457}{2}\approx 203{,}9382285\\ \text{m}.
  • Portanto: \Delta x = 332{,}1275066 - 203{,}9382285 \approx 128{,}1892781\\ \text{m}.Arredondando conforme as alternativas, isso dá aproximadamente 128\\ \text{m}.
Observação física: este \Delta x é a variação de posição entre t=0 e t=9{,}89\\ \text{s}. A posição final seria x(9{,}89)=x(0)+\Delta x=6{,}69+128{,}19, mas o enunciado pediu apenas o deslocamento.

Passo 4

Calcular a aceleração e achar quando ela é zero — vamos derivar e explicar o porquê.
  • Definição usada: aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
    a(t)=\frac{dv}{dt}.
  • Como v(t)=c\,t^{2}-f\,t, derivando termo a termo obtemos (regra de potência: \dfrac{d}{dt}t^{n}=n\,t^{n-1}):
    a(t)=\frac{d}{dt}\bigl(c\,t^{2}\bigr)-\frac{d}{dt}\bigl(f\,t\bigr) = c\cdot 2t - f\cdot 1 = 2c\,t - f.
    Isto é uma função linear de t: uma reta com coeficiente angular 2c e ordenada na origem -f.
  • Resolver a(t)=0:
    2c\,t - f = 0 \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{f}{2c}.
    Substituindo os valores:
    t_{\text{a}=0}=\frac{4{,}17}{2\cdot 1{,}03}=\frac{4{,}17}{2{,}06}\approx 2{,}024271845\\ \text{s}.
    Arredondando conforme alternativas:
    t_{\text{a}=0}\approx 2{,}02\\ \text{s}.

Passo 5

Construir o gráfico de a em função de t (descrição passo a passo) e indicar como obter a variação da velocidade entre t=0 e t=t_{\text{a}=0}.
  • Equação da reta (já encontrada):
    a(t)=2c\,t - f.
    Substituindo c e f:
    a(t)=2\cdot 1{,}03\,t - 4{,}17 = 2{,}06\,t - 4{,}17\quad\bigl(\text{em }\text{m/s}^{2}\bigr).
  • Como desenhar o gráfico:
    • No eixo vertical (ordenadas) colocar a em \text{m/s}^{2}.
    • No eixo horizontal (abscissas) colocar t em \text{s}.
    • A reta tem intercepto a(0)=-4{,}17 (ponto em t=0 no valor -4{,}17).
    • A inclinação (coeficiente angular) é 2{,}06 — a reta sobe com essa taxa.
    • A reta cruza o eixo t (onde a=0) em t=\dfrac{f}{2c}\approx 2{,}02\\ \text{s}. Marque esse ponto.
  • Como obter a variação da velocidade entre t=0 e t=t_{\text{a}=0} a partir do gráfico:
    • Teorema fundamental do cálculo: a variação de velocidade entre t_{1} e t_{2} é a integral da aceleração: \Delta v = v(t_{2})-v(t_{1}) = \int_{t_{1}}^{t_{2}} a(t)\,dt.
    • Geometricamente, no gráfico a(t) vs t, essa integral é a área algébrica sob a curva a(t) entre t_{1} e t_{2} (área acima do eixo t positiva, abaixo negativa).
    • No nosso caso, entre t=0 e t=t_{\text{a}=0} a aceleração é negativa (pois parte da reta está abaixo do eixo até o zero), então a área tem sinal negativo; essa área é exatamente \Delta v.
  • Podemos calcular essa \Delta v explicitamente (checar numericamente):
    • Usando a primitiva de a(t): \int a(t)\,dt = \int (2c\,t - f)\,dt = c\,t^{2} - f\,t + C.
    • Portanto, para t_{0}=t_{\text{a}=0}=\dfrac{f}{2c} e t_{1}=0, \Delta v = \bigl[c\,t^{2}-f\,t\bigr]_{0}^{t_{0}} = c\,t_{0}^{2}-f\,t_{0}.
    • Substituindo t_{0}=\dfrac{f}{2c}: c\left(\frac{f}{2c}\right)^{2} - f\left(\frac{f}{2c}\right) = c\cdot\frac{f^{2}}{4c^{2}} - \frac{f^{2}}{2c} = \frac{f^{2}}{4c} - \frac{2f^{2}}{4c} = -\frac{f^{2}}{4c}.Ou seja, \Delta v = -\frac{f^{2}}{4c}.
    • Valor numérico: \Delta v = -\frac{4{,}17^{2}}{4\cdot 1{,}03} = -\frac{17{,}3889}{4{,}12}\approx -4{,}22\\ \text{m/s}.
    • Observação: v(0)=0 (pois v(0)=c\cdot0 - f\cdot0=0), então v(t_{0})=\Delta v\approx -4{,}22\\ \text{m/s}.
  • No gráfico, para indicar isso: sombrear a região entre a reta a(t) e o eixo t desde t=0 até t\approx 2{,}02\\ \text{s}. A área sombreada (com sinal) é igual a \Delta v. Como a área está abaixo do eixo, o resultado é negativo.

Resposta

(a) t_{\text{inversão}}=\dfrac{f}{c}\approx 4{,}05\\ \text{s}ã
(b) \Delta x=\displaystyle\int_{0}^{9{,}89}\bigl(c\,t^{2}-f\,t\bigr)\,dt\approx 128\\ \text{m}
(c) t tal que a(t)=0\Rightarrow t=\dfrac{f}{2c}\approx 2{,}02\\ \text{s}
(d) a(t)=2c\,t-f=2{,}06\,t-4{,}17 (m/s ^2); no gráfico é uma reta que corta o eixo t em t\approx 2{,}02\\ \text{s}. A variação de velocidade entre 0 e 2{,}02\\ \text{s} é a área algébrica sob a(t) nesse intervalo, numericamente \Delta v=-\dfrac{f^{2}}{4c}\approx -4{,}22\\ \text{m/s}.

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