Determine a menor força F que deve ser aplicada ao longo da corda a fim de fazer com que o elemento curvo A B, que tem um raio de 4 m , quebre no suporte A. Isso requer que um momento M=1500 \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~m} seja desenvolvido em A.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar a menor força F aplicada ao longo da corda (linha de ação fixa entre B e C) que faz com que o elemento curvo AB quebre no suporte em A. Isso ocorre quando o momento em A atinge M=1500\\ \mathrm{N\cdot m}.
Informações dadas (peguei estes dados da imagem):
  • O arco AB tem raio 4\\ \mathrm{m}.
  • O suporte A está a 4\\ \mathrm{m} acima do plano xy (o ponto sob A no plano xy é a origem).
  • O ponto B está no fim do arco, projetado no plano xy a 45^\circ (no sentido indicado) em relação aos eixos; portanto a projeção de B no plano tem coordenadas \bigl(4\cos45^\circ,\;4\sin45^\circ\bigr).
  • Na planta (planta está na figura) há duas distâncias de 6\\ \mathrm{m} que determinam a posição do ponto C no plano; com base nisso vou tomar as coordenadas de C no plano como (-6,\;6,\;0) (essas duas distâncias de 6\\ \mathrm{m} foram extraídas da imagem).
  • O momento requerido em A para causar ruptura é M=1500\\ \mathrm{N\cdot m} (dado do enunciado/figura).
Resumo útil para começar: precisamos calcular o momento produzido pela força F em A. A menor F ocorre quando F tem a direção da corda (já fixada), então basta usar a relação
M = F\,d,
onde d é a distância perpendicular de A à linha de ação da força (linha que liga B a C). Logo vamos calcular d e depois F=M/d.

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado de forma didática):
  • Momento de uma força em relação a um ponto: dado por vetor \mathbf{M}=\mathbf{r}\times\mathbf{F}, onde \mathbf{r} é o vetor do ponto de referência (aqui A) até o ponto de aplicação da força (aqui B), e \mathbf{F} é a força. O módulo do momento é |\mathbf{M}|=|\mathbf{r}\times\mathbf{F}|=F\,d, onde d é a distância perpendicular do ponto A à linha de ação da força.
  • Para obter a menor força F para produzir um momento de magnitude M, usamos F=M/d. Portanto, o passo chave é calcular d, a menor distância de A à linha que passa por B e C.
Como calcular d para um ponto em relação a uma linha no espaço:
  • Se a linha está no plano z=0 (como aqui, já que tanto B quanto C têm z=0) e o ponto A está a uma altura z_A sobre a origem, então a distância perpendicular d satisfaz
d=\sqrt{d_{xy}^2 + z_A^2},
onde d_{xy} é a distância perpendicular entre a projeção de A no plano (aqui a origem) e a projeção da linha (linha BC) no plano xy. Para d_{xy} em 2D, se B e C têm coordenadas em xy, então
d_{xy}=\frac{\bigl|( \mathbf{C}-\mathbf{B})\times(\mathbf{O}-\mathbf{B})\bigr|}{\lVert \mathbf{C}-\mathbf{B}\rVert},
onde \mathbf{O}=(0,0) é a projeção de A no plano e o produto \times em 2D dá o escalar da “área” (equivalente ao módulo do produto vetorial em 3D com componente z).

Passo 3

Colocar coordenadas (usando os dados extraídos da imagem):
  • Origem (projeção de A no plano): \mathbf{O}=(0,0,0).
  • Coordenadas de A: \mathbf{A}=(0,0,4) (peguei 4\\ \mathrm{m} da imagem).
  • Coordenadas de B: como B está sobre o círculo de raio 4 e a projeção forma 45^\circ,
\mathbf{B}=\bigl(4\cos45^\circ,\;4\sin45^\circ,\;0\bigr)=\bigl(2\sqrt{2},\;2\sqrt{2},\;0\bigr).
  • Coordenadas de C: da planta (peguei as duas distâncias de 6\\ \mathrm{m} mostradas na imagem) tomo
\mathbf{C}=(-6,\;6,\;0).

Passo 4

Calcular a projeção da distância perpendicular no plano xy, d_{xy}.
Primeiro \mathbf{C}-\mathbf{B} e \mathbf{O}-\mathbf{B} no plano:
\mathbf{C}-\mathbf{B}=(-6-2\sqrt{2},\;6-2\sqrt{2}), \qquad \mathbf{O}-\mathbf{B}=(-2\sqrt{2},\;-2\sqrt{2}).
O módulo do “produto cruzado 2D” (área) é
\bigl|(\mathbf{C}-\mathbf{B})\times(\mathbf{O}-\mathbf{B})\bigr| = \bigl|(-6-2\sqrt{2})(-2\sqrt{2}) - (6-2\sqrt{2})(-2\sqrt{2})\bigr|.
Calcule explicitamente:
(-6-2\sqrt{2})(-2\sqrt{2}) = 12\sqrt{2} + 4(\sqrt{2})^2 = 12\sqrt{2} + 8,
(6-2\sqrt{2})(-2\sqrt{2}) = -12\sqrt{2} + 8.
Subtraindo:
\bigl|(\mathbf{C}-\mathbf{B})\times(\mathbf{O}-\mathbf{B})\bigr| = \bigl|(12\sqrt{2}+8) - (-12\sqrt{2}+8)\bigr| = 24\sqrt{2}.
Agora o comprimento de \mathbf{C}-\mathbf{B}:
\lVert \mathbf{C}-\mathbf{B}\rVert =\sqrt{(-6-2\sqrt{2})^{2} + (6-2\sqrt{2})^{2}} =\sqrt{72 + 8(\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{72+16}=\sqrt{88}.
Assim
d_{xy}=\frac{24\sqrt{2}}{\sqrt{88}}.
Simplificando:
\sqrt{88}=2\sqrt{22}\quad\Rightarrow\quad d_{xy}=\frac{24\sqrt{2}}{2\sqrt{22}}=\frac{12\sqrt{2}}{\sqrt{22}}=\frac{12}{\sqrt{11}}.
(Se quiser um valor numérico,
d_{xy}=\frac{12}{\sqrt{11}}\approx 3{,}618\\ \mathrm{m}.)

Passo 5

Calcular a distância perpendicular total d do ponto A à linha BC. Lembrando que A está a 4\\ \mathrm{m} acima do plano:
d=\sqrt{d_{xy}^2 + z_A^2} =\sqrt{\left(\frac{12}{\sqrt{11}}\right)^{2} + 4^{2}} =\sqrt{\frac{144}{11} + 16} =\sqrt{\frac{144 + 176}{11}} =\sqrt{\frac{320}{11}}.
Podemos simplificar:
d=\frac{8\sqrt{5}}{\sqrt{11}}\approx 5{,}392\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Usar M=F\,d para obter F:
F=\frac{M}{d}=\frac{1500}{\dfrac{8\sqrt{5}}{\sqrt{11}}} =1500\cdot\frac{\sqrt{11}}{8\sqrt{5}}.
Valor numérico:
F\approx\frac{1500}{5{,}392}\approx 278{,}3\\ \mathrm{N}.
Interpretação curta e encorajamento: esse é o menor valor de F porque o momento produzido por uma força de módulo F é F vezes a distância perpendicular d; com a linha de ação fixa, a única maneira de reduzir F é aumentar d, mas d está fixado pela geometria dada. Você já fez a parte essencial — extrair a geometria e transformar o problema em cálculo da distância ponto‑a‑reta.

Resposta

F\approx 278{,}3\\ \mathrm{N}

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