P5.17 The interior of a refrigerator is typically held at 36^{\circ} \mathrm{F} and the interior of a freezer is typically held at 0.00^{\circ} \mathrm{F}. If the room temperature is 65^{\circ} \mathrm{F}, by what factor is it more expensive to extract the same amount of heat from the freezer than from the refrigerator? Assume that the theoretical limit for the performance of a reversible refrigerator is valid in this case.

Passo 1

O enunciado pede: “Por que fator é mais caro extrair a mesma quantidade de calor do freezer do que do refrigerador?”, assumindo um refrigerador reversível ideal (limite de Carnot). Dados fornecidos:
  • Temperatura do interior do refrigerador: 36^\circ\mathrm{F}.
  • Temperatura do interior do freezer: 0,00^\circ\mathrm{F}.
  • Temperatura da sala (ambiente quente): 65^\circ\mathrm{F}.
O que queremos comparar é o custo (energia de trabalho) necessário para extrair a mesma quantidade de calor Q do interior de cada compartimento, usando o desempenho teórico reversível.

Passo 2

Conceito físico e fórmula que vamos usar (aula rápida e direta, sem pular etapas):
  • Para um refrigerador reversível ideal (ciclo de Carnot) a razão entre o calor extraído do reservatório frio e o trabalho gasto — o coeficiente de desempenho (COP) do refrigerador — é
\mathrm{COP}=\frac{T_{L}}{T_{H}-T_{L}},
onde:
  • T_{L} é a temperatura absoluta do reservatório frio,
  • T_{H} é a temperatura absoluta do reservatório quente (a sala),
  • as temperaturas devem estar em uma escala absoluta (Kelvin se as temperaturas forem em Celsius, ou Rankine se estiverem em Fahrenheit).
Explicação curta de por que usar temperatura absoluta: leis da termodinâmica envolvem razões de energia térmica que são proporcionais à temperatura absoluta; usar Fahrenheit sem converter daria resultados físicos errados. Como os dados estão em ^\circ\mathrm{F}, usamos a escala Rankine, cuja relação é
T(\mathrm{R}) = T(^{\circ}\mathrm{F}) + 459,67.

Passo 3

Converter as temperaturas dadas para Rankine (pegando os números do enunciado):
  • Sala: T_H = 65 + 459,67 = 524,67\\ \mathrm{R}.
  • Interior do refrigerador: T_{L,\mathrm{fridge}} = 36 + 459,67 = 495,67\\ \mathrm{R}.
  • Interior do freezer: T_{L,\mathrm{freezer}} = 0,00 + 459,67 = 459,67\\ \mathrm{R}.
Deixei explicito cada soma para você poder reproduzir na prova sem erro.

Passo 4

Calcular os COPs usando a fórmula do Passo 2, explicando cada operação:
  • COP do refrigerador (interior a 36^\circ\mathrm{F}):
\mathrm{COP}_{\mathrm{fridge}}=\frac{T_{L,\mathrm{fridge}}}{T_H-T_{L,\mathrm{fridge}}} =\frac{495,67}{524,67-495,67} =\frac{495,67}{29} \approx 17,09.
Comentário: dividi 495,67 por 29 (a diferença 524,67-495,67) e arredondei para duas casas decimais.
  • COP do freezer (interior a 0^\circ\mathrm{F}):
\mathrm{COP}_{\mathrm{freezer}}=\frac{T_{L,\mathrm{freezer}}}{T_H-T_{L,\mathrm{freezer}}} =\frac{459,67}{524,67-459,67} =\frac{459,67}{65} \approx 7,071.
Comentário: dividi 459,67 por 65 (a diferença 524,67-459,67).

Passo 5

Relacionar trabalho, COP e custo e derivar o fator pedido (passo lógico claro para a prova):
  • Para extrair uma quantidade de calor Q do reservatório frio, o trabalho mínimo requerido é
W=\frac{Q}{\mathrm{COP}}.
  • Assim o fator pelo qual é mais caro extrair a mesma Q do freezer em comparação ao refrigerador é
\frac{W_{\mathrm{freezer}}}{W_{\mathrm{fridge}}} =\frac{Q/\mathrm{COP}_{\mathrm{freezer}}}{Q/\mathrm{COP}_{\mathrm{fridge}}} =\frac{\mathrm{COP}_{\mathrm{fridge}}}{\mathrm{COP}_{\mathrm{freezer}}}.
Agora substituindo os valores numéricos calculados:
\frac{W_{\mathrm{freezer}}}{W_{\mathrm{fridge}}} \approx \frac{17,09}{7,071} \approx 2,42.

Passo 6

Interpretação final e dica de prova (rápida): Ou seja, segundo o limite reversível de Carnot, extrair a mesma quantidade de calor do freezer é cerca de 2,42 vezes mais caro (em trabalho/energia) do que extraí‑la do refrigerador. Na prova, basta lembrar de (1) converter para temperatura absoluta, (2) usar \mathrm{COP}=T_L/(T_H-T_L) e (3) comparar os trabalhos por W=Q/\mathrm{COP}. Você segura isso tranquilo!

Resposta

Aproximadamente 2,42 vezes.

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