P5.11 2.25 moles of an ideal gas with C_{V, m}=5 R / 2 are transformed from an initial state T=680. K and P=1.15 bar to a final state T=298 \mathrm{~K} and P=4.75 bar. Calculate \Delta U, \Delta H, and \Delta S for this process.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Número de mols: n=2,25.
    • Capacidade calorífica molar a volume constante: C_{V,m}=\dfrac{5}{2}R.
    • Estado inicial: T_1=680\\ \mathrm{K} e P_1=1{,}15\\ \mathrm{bar}.
    • Estado final: T_2=298\\ \mathrm{K} e P_2=4{,}75\\ \mathrm{bar}.
    • Constante dos gases ideais: R=8{,}314462618\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}} (usar R\approx8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}} se preferir aproximação).
  • O enunciado pede:
    • \Delta U (variação da energia interna),
    • \Delta H (variação da entalpia),
    • \Delta S (variação da entropia),
      para a transformação do estado inicial ao final.

Passo 2

Entendendo a energia interna \Delta U para gás ideal e fórmula a aplicar.
  • Para um gás ideal mono- ou poliatômico ideal (qualquer gás ideal), a energia interna depende só da temperatura. Logo, a variação de energia interna é dada por:
\Delta U = n\,C_{V,m}\,(T_2-T_1).
Aqui:
  • n é o número de mols,
  • C_{V,m} é a capacidade calorífica molar a volume constante (em \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}),
  • T_1,T_2 são as temperaturas inicial e final (em K).
  • Primeiro calcule \Delta T:
\Delta T = T_2-T_1 = 298-680 = -382\\ \mathrm{K}.
  • Substituindo C_{V,m}=\dfrac{5}{2}R e n=2{,}25:
n\,C_{V,m} = 2{,}25\cdot\frac{5}{2}R = 5{,}625\,R.
  • Calcule o termo em J/K:
5{,}625\,R = 5{,}625\cdot 8{,}314462618 \approx 46{,}7688522\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
  • Agora \Delta U:
\Delta U = 5{,}625\,R\cdot(-382) \approx 46{,}7688522\cdot(-382)\\ \mathrm{J}.
  • Multiplicando:
\Delta U \approx -17\,866\\ \mathrm{J}\approx -1{,}79\times10^{4}\\ \mathrm{J}.
(Arredondarei de forma consistente no final.)

Passo 3

Entendendo a entalpia \Delta H e cálculo.
  • Para gás ideal vale H=U+PV e PV=nRT, logo \Delta H = \Delta U + nR\Delta T. Equivalentemente:
\Delta H = n\,C_{P,m}\,(T_2-T_1), \qquad C_{P,m}=C_{V,m}+R.
  • Com C_{V,m}=\dfrac{5}{2}R temos C_{P,m}=\dfrac{7}{2}R.
  • Calcule n\,C_{P,m}:
n\,C_{P,m} = 2{,}25\cdot\frac{7}{2}R = 7{,}875\,R.
  • Em J/K:
7{,}875\,R = 7{,}875\cdot8{,}314462618 \approx 65{,}476704\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
  • Multiplicando por \Delta T=-382\\ \mathrm{K}:
\Delta H \approx 65{,}476704\cdot(-382)\\ \mathrm{J}\approx -25\,012\\ \mathrm{J}\approx -2{,}50\times10^{4}\\ \mathrm{J}.
  • Conferência rápida usando \Delta H=\Delta U+nR\Delta T:
nR\Delta T = 2{,}25\cdot8{,}314462618\cdot(-382)\approx -7\,146{,}5\\ \mathrm{J},
\Delta H \approx -17\,866 + (-7\,146{,}5)\approx -25\,012\\ \mathrm{J},
mesmo resultado — bom sinal.

Passo 4

Entendendo e calculando a variação de entropia \Delta S.
  • A entropia é uma função de estado, mas sua variação depende dos estados inicial e final e, para gás ideal, pode ser obtida integrando a expressão
\mathrm{d}S = \frac{C_{P,m}}{T}\,\mathrm{d}T - \frac{R}{P}\,\mathrm{d}P
por mol. Integrando para n mols entre (T_1,P_1) e (T_2,P_2) obtemos a fórmula prática:
\Delta S = n\;C_{P,m}\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right) - n\,R\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right).
  • Explicando os termos:
    • O primeiro termo vem da parte \int C_{P,m}/T\,\mathrm{d}T = C_{P,m}\ln(T).
    • O segundo termo vem de -\int R/P\,\mathrm{d}P = -R\ln(P).
    • Para gás ideal com C_{P,m} constante (caso simples), esta fórmula é válida.
  • Substitua C_{P,m}=\dfrac{7}{2}R. Assim:
\Delta S = nR\left[\frac{7}{2}\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right) - \ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right)\right].
  • Calcule as razões e os logaritmos:
    • \dfrac{T_2}{T_1}=\dfrac{298}{680}\approx0{,}438235294. Então
\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right)\approx \ln(0{,}438235294)\approx -0{,}824999.
  • \dfrac{P_2}{P_1}=\dfrac{4{,}75}{1{,}15}\approx4{,}130434783. Então
\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right)\approx \ln(4{,}130434783)\approx 1{,}418294.
  • Agora o colchete:
\frac{7}{2}\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right) - \ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right) =3{,}5\cdot(-0{,}824999)-1{,}418294 \approx -2{,}887497-1{,}418294 \approx -4{,}305791.
  • Calcule nR:
nR = 2{,}25\cdot8{,}314462618 \approx 18{,}707 ( \mathrm{J\,K^{-1}} ).
  • Finalmente:
\Delta S \approx 18{,}707\cdot(-4{,}305791)\\ \mathrm{J\,K^{-1}} \approx -80{,}57\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
  • Arredondando razoavelmente: \Delta S \approx -80{,}6\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.

Passo 5

Interpretação rápida dos sinais (para te dar confiança):
  • \Delta U<0 e \Delta H<0 porque a temperatura caiu (o gás perdeu energia interna e entalpia).
  • \Delta S<0 porque, apesar de a pressão ter aumentado, a queda de temperatura e a relação entre as variáveis resultaram em diminuição da entropia do gás no processo considerado.

Resposta

\Delta U = -1{,}79\times10^{4}\\ \mathrm{J}
\Delta H = -2{,}50\times10^{4}\\ \mathrm{J}
\Delta S = -80{,}6\\ \mathrm{J\,K^{-1}}

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