P5.11 2.25 moles of an ideal gas with
are transformed from an initial state
. K and
bar to a final state
and
bar. Calculate
, and
for this process.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- Número de mols:
. - Capacidade calorífica molar a volume constante:
. - Estado inicial:
e . - Estado final:
e . - Constante dos gases ideais:
(usar se preferir aproximação).
- Número de mols:
-
O enunciado pede:
-
(variação da energia interna), -
(variação da entalpia), -
(variação da entropia),
para a transformação do estado inicial ao final.
-
Passo 2
Entendendo a energia interna
para gás ideal e fórmula a aplicar.
- Para um gás ideal mono- ou poliatômico ideal (qualquer gás ideal), a energia interna depende só da temperatura. Logo, a variação de energia interna é dada por:
Aqui:
-
é o número de mols, -
é a capacidade calorífica molar a volume constante (em ), -
são as temperaturas inicial e final (em K). - Primeiro calcule
:
- Substituindo
e :
- Calcule o termo em J/K:
- Agora
:
- Multiplicando:
(Arredondarei de forma consistente no final.)
Passo 3
Entendendo a entalpia
e cálculo.
- Para gás ideal vale
e , logo . Equivalentemente:
- Com
temos . - Calcule
:
- Em J/K:
- Multiplicando por
:
- Conferência rápida usando
:
mesmo resultado — bom sinal.
Passo 4
Entendendo e calculando a variação de entropia
.
- A entropia é uma função de estado, mas sua variação depende dos estados inicial e final e, para gás ideal, pode ser obtida integrando a expressão
por mol. Integrando para
mols entre
e
obtemos a fórmula prática:
- Explicando os termos:
- O primeiro termo vem da parte
. - O segundo termo vem de
. - Para gás ideal com
constante (caso simples), esta fórmula é válida.
- O primeiro termo vem da parte
- Substitua
. Assim:
- Calcule as razões e os logaritmos:
-
. Então
-
-
. Então
- Agora o colchete:
- Calcule
:
- Finalmente:
- Arredondando razoavelmente:
.
Passo 5
Interpretação rápida dos sinais (para te dar confiança):
-
e porque a temperatura caiu (o gás perdeu energia interna e entalpia). -
porque, apesar de a pressão ter aumentado, a queda de temperatura e a relação entre as variáveis resultaram em diminuição da entropia do gás no processo considerado.