3.75 moles of an ideal gas with C_{V, m}=3 / 2 R undergoes the transformations described in the following list from an initial state described by T=298 \mathrm{~K} and P=4.50 bar. Calculate q, w, \Delta U, \Delta H, and \Delta S for each process.
The gas undergoes an expansion against a constant external pressure of zero bar until the final pressure is equal to one third of its initial value.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede os itens listados abaixo.
Dados fornecidos:
  • n=3{,}75 mol (número de mols do gás).
  • C_{V,m}=\dfrac{3}{2}R (capacidade calorífica molar a volume constante).
  • Estado inicial: T_i=298\\ \text{K} e P_i=4{,}50\\ \text{bar}.
  • A expansão ocorre contra uma pressão externa constante P_{\text{ext}}=0\\ \text{bar} (expansão livre, “into vacuum”) até que a pressão final seja P_f=\dfrac{1}{3}P_i.
O que o enunciado pede:
  • Calcular q (calor trocado pelo sistema).
  • Calcular w (trabalho realizado pelo sistema, usando a convenção w<0 quando o sistema realiza trabalho sobre o entorno).
  • Calcular \Delta U (variação da energia interna).
  • Calcular \Delta H (variação da entalpia).
  • Calcular \Delta S (variação da entropia do gás).
Observação prática: será necessário usar a lei dos gases ideais e relações termodinâmicas para gás ideal. Também será importante lembrar que energia interna e entalpia de um gás ideal dependem somente da temperatura.

Passo 2

Entender o tipo de processo e como obter o trabalho w.
  • Para um processo em que o sistema expande contra uma pressão externa constante a pressão externa P_{\text{ext}}, o trabalho de pressão é dado por
w = -P_{\text{ext}}\,\Delta V = -P_{\text{ext}}\,(V_f-V_i).
  • Aqui P_{\text{ext}}=0. Logo, independentemente de quanto o volume mude,
w = -0\cdot (V_f-V_i)=0.
Explicação em palavras: na expansão contra o vácuo o gás não “empurra” nada que faça trabalho; portanto o trabalho de pressão vale zero.

Passo 3

Tratar o calor q para a expansão livre.
  • Uma “expansão contra pressão externa zero” normalmente descreve uma expansão livre (free expansion) em que o sistema se expande para o vácuo. O caso clássico assume que o recipiente é isolado termicamente (processo adiabático sem troca de calor). Nessa situação padrão:
q=0.
  • Observação importante (didática): se o problema não dissesse nada sobre isolamento térmico, não seria possível determinar q apenas a partir de P_{\text{ext}}=0. Mas exercícios assim costumam assumir expansão livre adiabática; portanto adotamos q=0.

Passo 4

Aplicar a primeira lei e relacionar com a temperatura.
  • A primeira lei da termodinâmica (variação de energia interna) é
\Delta U = q + w.
  • Como vimos q=0 e w=0, temos
\Delta U = 0.
  • Para um gás ideal a energia interna depende apenas da temperatura e pode ser escrita como
\Delta U = n C_{V,m}\,(T_f-T_i).
Como \Delta U=0 e n C_{V,m}\neq 0, segue que
T_f=T_i=298\\ \text{K}.
Isto faz sentido físico: na expansão livre adiabática de um gás ideal, a temperatura não muda.

Passo 5

Calcular \Delta H.
  • Para um gás ideal a entalpia molar H_m depende apenas da temperatura; assim a variação de entalpia é
\Delta H = n C_{P,m}\,(T_f-T_i).
  • Sabendo que C_{V,m}=\dfrac{3}{2}R, obtemos C_{P,m}=C_{V,m}+R=\dfrac{5}{2}R. Como T_f=T_i, segue
\Delta H = 0.

Passo 6

Calcular \Delta S (explicação didática e cálculo).
  • A entropia é uma função de estado, então a variação de entropia entre o estado inicial e o final independe do caminho real (irreversível) tomado. Podemos calcular \Delta S escolhendo um caminho reversível conveniente que conecte os mesmos estados. Uma escolha simples é um processo isotérmico reversível entre os mesmos T_i, P_i e P_f.
  • Para um processo isotérmico reversível de um gás ideal, a variação de entropia do gás é
\Delta S = \int_{\text{rev}}\frac{\delta q_{\text{rev}}}{T} = \int_{V_i}^{V_f}\frac{P_{\text{rev}}\,dV}{T} = \int_{V_i}^{V_f}\frac{nR\,dV}{V} = nR\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).
  • Como neste processo real encontramos T_f=T_i, podemos usar a relação P V = nRT para relacionar volumes e pressões à mesma temperatura. Assim
\frac{V_f}{V_i}=\frac{P_i}{P_f}.
  • O enunciado diz que P_f=\dfrac{1}{3}P_i, logo
\frac{V_f}{V_i}=\frac{P_i}{P_f}=3.
  • Portanto
\Delta S = nR\ln(3).
  • Agora o cálculo numérico. Usando R=8{,}314462618\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}} (valor prático) e n=3{,}75 mol,
\Delta S = 3{,}75\times 8{,}314462618\times \ln(3)\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
Calcule passo a passo:
\ln(3)\approx 1{,}098612289,
8{,}314462618\times \ln(3)\approx 9{,}129304\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}},
\Delta S \approx 3{,}75\times 9{,}129304 \approx 34{,}22\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.

Passo 7

Cálculo auxiliar dos volumes (checagem e interpretação numérica).
  • Podemos calcular o volume inicial para ver ordens de grandeza:
V_i=\frac{nRT_i}{P_i}.
Converter P_i=4{,}50\\ \text{bar}=4{,}50\times 10^{5}\\ \text{Pa}. Assim,
V_i=\frac{3{,}75\times 8{,}314462618\times 298}{4{,}50\times 10^{5}}\\ \mathrm{m^3}\approx 0{,}02065\\ \mathrm{m^3}=20{,}65\\ \mathrm{L}.
  • Como V_f=3V_i, temos V_f\approx 0{,}06195\\ \mathrm{m^3}=61{,}95\\ \mathrm{L}.
  • Esses volumes confirmam numericamente a razão V_f/V_i=3 usada no cálculo de \Delta S.

Resposta

q=0\\ \mathrm{J}
w=0\\ \mathrm{J}
\Delta U=0\\ \mathrm{J}
\Delta H=0\\ \mathrm{J}
\Delta S\approx 34{,}22\\ \mathrm{J\,K^{-1}}

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