3.75 moles of an ideal gas with
undergoes the transformations described in the following list from an initial state described by
and
bar. Calculate
, and
for each process.
The gas undergoes an expansion against a constant external pressure of zero bar until the final pressure is equal to one third of its initial value.
The gas undergoes an expansion against a constant external pressure of zero bar until the final pressure is equal to one third of its initial value.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede os itens listados abaixo.
Dados fornecidos:
-
mol (número de mols do gás). -
(capacidade calorífica molar a volume constante). - Estado inicial:
e . - A expansão ocorre contra uma pressão externa constante
(expansão livre, “into vacuum”) até que a pressão final seja .
O que o enunciado pede:
- Calcular
(calor trocado pelo sistema). - Calcular
(trabalho realizado pelo sistema, usando a convenção quando o sistema realiza trabalho sobre o entorno). - Calcular
(variação da energia interna). - Calcular
(variação da entalpia). - Calcular
(variação da entropia do gás).
Observação prática: será necessário usar a lei dos gases ideais e relações termodinâmicas para gás ideal. Também será importante lembrar que energia interna e entalpia de um gás ideal dependem somente da temperatura.
Passo 2
Entender o tipo de processo e como obter o trabalho
.
- Para um processo em que o sistema expande contra uma pressão externa constante a pressão externa
, o trabalho de pressão é dado por
- Aqui
. Logo, independentemente de quanto o volume mude,
Explicação em palavras: na expansão contra o vácuo o gás não “empurra” nada que faça trabalho; portanto o trabalho de pressão vale zero.
Passo 3
Tratar o calor
para a expansão livre.
- Uma “expansão contra pressão externa zero” normalmente descreve uma expansão livre (free expansion) em que o sistema se expande para o vácuo. O caso clássico assume que o recipiente é isolado termicamente (processo adiabático sem troca de calor). Nessa situação padrão:
- Observação importante (didática): se o problema não dissesse nada sobre isolamento térmico, não seria possível determinar
apenas a partir de . Mas exercícios assim costumam assumir expansão livre adiabática; portanto adotamos .
Passo 4
Aplicar a primeira lei e relacionar com a temperatura.
- A primeira lei da termodinâmica (variação de energia interna) é
- Como vimos
e , temos
- Para um gás ideal a energia interna depende apenas da temperatura e pode ser escrita como
Como
e
, segue que
Isto faz sentido físico: na expansão livre adiabática de um gás ideal, a temperatura não muda.
Passo 5
Calcular
.
- Para um gás ideal a entalpia molar
depende apenas da temperatura; assim a variação de entalpia é
- Sabendo que
, obtemos . Como , segue
Passo 6
Calcular
(explicação didática e cálculo).
- A entropia é uma função de estado, então a variação de entropia entre o estado inicial e o final independe do caminho real (irreversível) tomado. Podemos calcular
escolhendo um caminho reversível conveniente que conecte os mesmos estados. Uma escolha simples é um processo isotérmico reversível entre os mesmos , e . - Para um processo isotérmico reversível de um gás ideal, a variação de entropia do gás é
- Como neste processo real encontramos
, podemos usar a relação para relacionar volumes e pressões à mesma temperatura. Assim
- O enunciado diz que
, logo
- Portanto
- Agora o cálculo numérico. Usando
(valor prático) e mol,
Calcule passo a passo:
Passo 7
Cálculo auxiliar dos volumes (checagem e interpretação numérica).
- Podemos calcular o volume inicial para ver ordens de grandeza:
Converter
. Assim,
- Como
, temos . - Esses volumes confirmam numericamente a razão
usada no cálculo de .