9.17 The ratio J / J_{d} (conduction current density to displacement current density) is very important at high frequencies. Calculate the ratio at 1 GHz for:
distilled water ( \mu=\mu_{\mathrm{o}}, \varepsilon=81 \varepsilon_{\mathrm{o}}, \sigma=2 \times 10^{-3} \mathrm{~S} / \mathrm{m} )

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a razão entre a densidade de corrente de condução e a densidade de corrente de deslocamento, isto é \dfrac{J}{J_{d}}, para água destilada à frequência de 1\\ \mathrm{GHz}.\n
Informações fornecidas:
\mu=\mu_{0},
\varepsilon=81\,\varepsilon_{0},
\sigma=2\times10^{-3}\\ \mathrm{S/m},
f=1\\ \mathrm{GHz}=1\times10^{9}\\ \mathrm{Hz}.
Nada mais foi pedido além da razão numa frequência específica.

Passo 2

Vamos entender as fórmulas que relacionam as correntes com o campo elétrico E. Em um regime senoidal (harmônico) com frequência angular \omega as densidades de corrente são:
J=\sigma E
e
J_{d}=\frac{\partial D}{\partial t}=\varepsilon\frac{\partial E}{\partial t}\quad\text{(no domínio do tempo)}.í
Para sinais harmônicos, \dfrac{\partial}{\partial t} corresponde a multiplicar por j\omega no domínio das fasores, então o módulo da densidade de corrente de deslocamento é
|J_{d}|=\omega\varepsilon |E|.
Aqui explico cada símbolo:
  • \sigma é a condutividade elétrica (em \mathrm{S/m}),
  • \varepsilon é a permissividade do meio (em \mathrm{F/m}),
  • \omega é a frequência angular ( \mathrm{rad/s}),
  • E é a amplitude do campo elétrico (em \mathrm{V/m}),
  • J e J_{d} são densidades de corrente (em \mathrm{A/m^{2}}).\n
    Como ambos J e J_{d} são proporcionais a |E|, a razão não depende de E. Assim:
\frac{J}{J_{d}}=\frac{\sigma}{\omega\varepsilon}.
Essa é a fórmula prática que usaremos. É simples e muito usada para ver se, em alta frequência, a corrente de condução é desprezível em relação à de deslocamento.

Passo 3

Calculo da frequência angular:
\omega=2\pi f=2\pi\cdot 1\times10^{9}\\ \mathrm{rad/s}.
Vou manter \omega simbólico por enquanto e calcular numericamente a seguir.

Passo 4

Calculo da permissividade do meio:
\varepsilon=81\,\varepsilon_{0}.
Usarei o valor padrão
\varepsilon_{0}=8,854\,187\,817\times 10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
Multiplicando:
\varepsilon=81\cdot 8,854\,187\,817\times10^{-12} =7,171\,892\,13177\times10^{-10}\\ \mathrm{F/m}.

Passo 5

Agora calculo \omega\varepsilon. Primeiro \omega:
\omega=2\pi\cdot 1\times10^{9}\approx 6,283\,185\,307\times10^{9}\\ \mathrm{rad/s}.
Multiplicando \omega por \varepsilon:
\omega\varepsilon \approx (6,283\,185\,307\times10^{9})\cdot(7,171\,892\,13177\times10^{-10}).
Juntando as potências de dez ( 10^{9}\cdot10^{-10}=10^{-1}) e multiplicando os coeficientes:
\omega\varepsilon \approx 6,283\,185\,307\cdot 7,171\,892\,13177 \times10^{-1} \approx 45,062\,9\times10^{-1} \approx 4,506\,29\\ \mathrm{S/m}.
(O resultado tem unidade \mathrm{S/m} porque \omega\varepsilon tem as mesmas unidades de condutividade.)

Passo 6

Finalmente aplico a fórmula da razão:
\frac{J}{J_{d}}=\frac{\sigma}{\omega\varepsilon} =\frac{2\times10^{-3}}{4,506\,29}\approx 4,4407\times10^{-4}.
Em percentual, isso equivale a aproximadamente 0,0444\%, ou seja, a corrente de condução é muito menor que a de deslocamento a 1\\ \mathrm{GHz} na água destilada com os dados dados. Respira fundo — o cálculo não é tão assustador quando a gente faz passo a passo!

Resposta

\displaystyle \frac{J}{J_{d}}\approx 4,44\times10^{-4}

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