9.17 The ratio J / J_{d} (conduction current density to displacement current density) is very important at high frequencies. Calculate the ratio at 1 GHz for:
limestone \left(\mu=\mu_{\mathrm{o}}, \varepsilon=5 \varepsilon_{\mathrm{o}}, \sigma=2 \times 10^{-4} \mathrm{~S} / \mathrm{m}\right)

Passo 1

O que o exercício pede: calcular a razão entre a densidade de corrente de condução e a densidade de corrente de deslocamento à frequência de 1\\ \mathrm{GHz} para o material dado.
Dados fornecidos (vou listar exatamente os valores que o enunciado deu):
\mu=\mu_{0}
\varepsilon=5\varepsilon_{0}
\sigma=2\times10^{-4}\\ \mathrm{S/m}
f=1\\ \mathrm{GHz}=1\times10^{9}\\ \mathrm{Hz}
Não há outras informações no enunciado; a figura não é necessária. A grandeza que queremos é a razão J/J_{d}, onde J é a densidade de corrente de condução e J_{d} é a densidade de corrente de deslocamento.

Passo 2

Conceitos e fórmulas fundamentais — vamos entender o que são as duas correntes e como escrever cada uma.
  • Densidade de corrente de condução: quando um campo elétrico E está presente num material condutor, a corrente de condução (no regime linear ôhmico) é dada por
J=\sigma E,
onde \sigma é a condutividade (unidade \mathrm{S/m}) e E é o módulo do campo elétrico (unidade \mathrm{V/m}). Essa fórmula é a forma local da lei de Ohm.
  • Densidade de corrente de deslocamento: em eletromagnetismo (no tratamento fasorial para campos harmônicos), a densidade de corrente de deslocamento associada à variação do campo elétrico é dada por
J_{d}=\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}.
Para um campo harmônico em frequência angular \omega e com \mathbf{D}=\varepsilon \mathbf{E}, em representação fasorial isso vira
J_{d}=j\omega\varepsilon E,
onde j é a unidade imaginária e \omega=2\pi f. Como queremos a razão de magnitudes, usamos
|J_{d}|=\omega\varepsilon E.
Observação: aqui \varepsilon é a permissividade absoluta do material ( \varepsilon=5\varepsilon_{0} dada), e \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo.

Passo 3

Expressão da razão pedida. Dividindo as magnitudes:
\frac{J}{J_{d}}=\frac{\sigma E}{\omega \varepsilon E}=\frac{\sigma}{\omega\varepsilon}.
Repare que o campo E cancela — a razão não depende do valor do campo, só das propriedades do material e da frequência.
Aqui:
  • \sigma é a condutividade (dado),
  • \omega=2\pi f é a frequência angular,
  • \varepsilon=5\varepsilon_{0} é a permissividade do material.

Passo 4

Calcular \omega. Usamos \omega=2\pi f com f=1\times10^{9}\\ \mathrm{Hz}:
\omega=2\pi(1\times10^{9})=2\pi\times10^{9}\\ \mathrm{rad/s}.
Não precisamos expandir \omega em dezenas de casas, mas quando for multiplicar numericamente, usaremos 2\pi\approx6,283185307.

Passo 5

Valor da permissividade do material. Usamos \varepsilon=5\varepsilon_{0} e o valor conhecido de \varepsilon_{0}:
\varepsilon_{0}=8,854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
Logo
\varepsilon=5\varepsilon_{0}=5\times8,854187817\times10^{-12}=4,4270939085\times10^{-11}\\ \mathrm{F/m}.

Passo 6

Agora montamos o denominador \omega\varepsilon e calculamos numericamente passo a passo.
Primeiro, multiplicamos f por \varepsilon:
f\varepsilon=(1\times10^{9})\times(4,4270939085\times10^{-11})=4,4270939085\times10^{-2}.
Em seguida multiplicamos por 2\pi:
\omega\varepsilon=2\pi f\varepsilon=6,283185307\cdot4,4270939085\times10^{-2}.
Fazendo a multiplicação numérica:
\omega\varepsilon\approx0,278132\\ \mathrm{S/m}.
(Arredondei para seis casas significativas para manter clareza; o valor exato com mais casas fica \approx0,2781320\\ \mathrm{S/m}.)

Passo 7

Finalmente calculamos a razão:
\frac{J}{J_{d}}=\frac{\sigma}{\omega\varepsilon}=\frac{2\times10^{-4}}{0,278132}.
Dividindo:
\frac{J}{J_{d}}\approx7,19\times10^{-4}.

Passo 8

Interpretação breve (para fixar o conceito): o resultado é muito menor que 1, ou seja, à frequência de 1\\ \mathrm{GHz} a componente de corrente de deslocamento domina sobre a corrente de condução em calcário com essa condutividade tão baixa. Em palavras: para sinais em radiofrequência, o efeito capacitivo (deslocamento) costuma superar a condução em materiais dielétricos com \sigma pequena.

Resposta

\;7,19\times10^{-4}

Exercícios relacionados