9.17 The ratio
(conduction current density to displacement current density) is very important at high frequencies. Calculate the ratio at 1 GHz for:
limestone
limestone
Passo 1
O que o exercício pede: calcular a razão entre a densidade de corrente de condução e a densidade de corrente de deslocamento à frequência de
para o material dado.
Dados fornecidos (vou listar exatamente os valores que o enunciado deu):
Não há outras informações no enunciado; a figura não é necessária. A grandeza que queremos é a razão
, onde
é a densidade de corrente de condução e
é a densidade de corrente de deslocamento.
Passo 2
Conceitos e fórmulas fundamentais — vamos entender o que são as duas correntes e como escrever cada uma.
- Densidade de corrente de condução: quando um campo elétrico
está presente num material condutor, a corrente de condução (no regime linear ôhmico) é dada por
onde
é a condutividade (unidade
) e
é o módulo do campo elétrico (unidade
). Essa fórmula é a forma local da lei de Ohm.
- Densidade de corrente de deslocamento: em eletromagnetismo (no tratamento fasorial para campos harmônicos), a densidade de corrente de deslocamento associada à variação do campo elétrico é dada por
Para um campo harmônico em frequência angular
e com
, em representação fasorial isso vira
onde
é a unidade imaginária e
. Como queremos a razão de magnitudes, usamos
Observação: aqui
é a permissividade absoluta do material (
dada), e
é a permissividade do vácuo.
Passo 3
Expressão da razão pedida. Dividindo as magnitudes:
Repare que o campo
cancela — a razão não depende do valor do campo, só das propriedades do material e da frequência.
Aqui:
-
é a condutividade (dado), -
é a frequência angular, -
é a permissividade do material.
Passo 4
Calcular
. Usamos
com
:
Não precisamos expandir
em dezenas de casas, mas quando for multiplicar numericamente, usaremos
.
Passo 5
Valor da permissividade do material. Usamos
e o valor conhecido de
:
Logo
Passo 6
Agora montamos o denominador
e calculamos numericamente passo a passo.
Primeiro, multiplicamos
por
:
Em seguida multiplicamos por
:
Fazendo a multiplicação numérica:
(Arredondei para seis casas significativas para manter clareza; o valor exato com mais casas fica
.)
Passo 7
Finalmente calculamos a razão:
Dividindo:
Passo 8
Interpretação breve (para fixar o conceito): o resultado é muito menor que 1, ou seja, à frequência de
a componente de corrente de deslocamento domina sobre a corrente de condução em calcário com essa condutividade tão baixa. Em palavras: para sinais em radiofrequência, o efeito capacitivo (deslocamento) costuma superar a condução em materiais dielétricos com
pequena.