Problema 2.41 Uma partícula de massa
no potencial do oscilador harmônico (Equação 2.43) inicia no estado
para uma constante
.
(a) Qual é o valor esperado de energia?
(b) Em algum tempo posterior
, a função de onda é
para uma constante
. Qual é o menor valor possível de
?
(a) Qual é o valor esperado de energia?
(b) Em algum tempo posterior
Passo 1
O enunciado dá uma partícula de massa
no potencial do oscilador harmônico e fornece a função de onda inicial e uma função de onda em um tempo
:
- Função inicial (a constante
é dada):
- Função em tempo
(constante ):
As perguntas são:
(a) Qual é o valor esperado da energia no estado inicial
?
(b) Qual é o menor valor possível de tal que
tenha a forma dada (até um fator de normalização/ fase global)?
(a) Qual é o valor esperado da energia
(b) Qual é o menor valor possível de
Passo 2
Primeiro vamos reescrever a função em termos da variável adimensional
porque as funções próprias do oscilador harmônico são expressas em
. As autofunções (estados de energia) do oscilador são
onde
são os polinômios de Hermite, e o fator de normalização é
A energia associada ao nível
é
Explicar rápido os
úteis aqui:
,
,
. Essas expressões são padrão e servem para expressar qualquer polinômio de até grau 2 na base
.
Passo 3
Expanda o polinômio do estado inicial em
:
Agora escrevemos
,
e
em função de
. Usando
e
temos
Substituindo,
Logo a função inicial é (usando
)
Comparando com
, escrevemos
como combinação linear dos três primeiros estados:
onde, identificando termos,
com os coeficientes escalares
,
,
(isto é,
é
vezes a combinação
multiplicada pela gaussiana).
Passo 4
Normalização e probabilidades. Os coeficientes
(amplitudes de probabilidade nos níveis de energia) satisfazem
Substituindo
, obtemos
Como
, temos
. Então os termos que pesam na normalização são
(o fator
é comum a todos e cancela ao calcular probabilidades relativas). Calcule esses números:
A soma é
. Assim as probabilidades de encontrar a partícula no nível
são
Portanto
(Observação útil: com isso dá para achar também o módulo de
. De
segue
e, portanto,
.)
Passo 5
Calcule o valor esperado da energia usando
. Com
,
Substituindo os
,
Colocando em evidência
e somando os coeficientes:
Passo 6
Agora a parte (b): evolução temporal dos coeficientes. Cada coeficiente de energia evolui com fase
Logo, se no tempo
queremos a forma
isto corresponde a trocar o sinal do coeficiente de
em relação ao inicial (lembre: inicial tinha
, e a desejada tem
; os outros
permanecem com o mesmo sinal). Em termos das amplitudes
isso significa que (até uma fase global
) devemos ter
onde
tem os mesmos módulos que
mas com o sinal (fator) adequado nos
. Podemos escolher a fase global
para igualar o componente
; então as condições relevantes comparando com
são exigências sobre as fases relativas:
Aqui
,
então
. E
então
.
Passo 7
Calcule as diferenças de energia:
Assim as condições são
A primeira dá
, i.e.
A segunda exige
, ou seja
com
. Para
temos
, que satisfaz ambas condições simultaneamente (com
e
). Portanto o menor
que funciona é