6.17 A thermosetting polymer containing glass beads is required to deflects 0.5 mm when a force of 500 N is applied. The polymer part is 20 mm wide, 5 mm thick, and 100 mm long. If the flexural modulus is 6.9 GN m^-2, determine the minimum distance between the supports. Will the polymer fracture if its flexural strength is 85 MN m^-2 ? Assume that no plastic deformation occurs.

Passo 1

O enunciado descreve uma viga biapoiada de polímero termoendurecível com esferas de vidro, de largura b=20 mm, espessura h=5 mm e comprimento total 100 mm, carregada por uma força pontual P=500 N no meio do vão. Queremos que a deflexão máxima seja de<a=0,5 mm, sabendo que o módulo de flexão é E=6,9times10^9 Pa e a resistência à flexão é sigmaf=85times10^6 Pa. Nosso objetivo é achar a distância L entre os apoios para obter de<a e verificar se a tensão de flexão máxima fica abaixo de sigmaf.

Passo 2

A deflexão máxima no centro de uma viga biapoiada com carga pontual central é dada por
de<a = P,L^348,E,I
e o momento de inércia da seção retangular é
I = b,h^312

Passo 3

Calculamos I convertendo dimensões para metros: b=0,02 m, h=0,005 m. Então
I = 0,02 times (0,005)^312 = 0,02 times 125times10^-912 approx 2,08times10^-10 m^4

Passo 4

Isolando L em de<a = P L^3/(48EI), temos
L^3 = 48,E,I,de<aP Longrightarrow L = raiz[3]48,E,I,de<aP
Substituindo E=6,9times10^9 Pa, I=2,08times10^-10 m^4, de<a=0,0005 m e P=500 N, obtemos
L^3 approx 6,9times10^-5 m^3 Longrightarrow L approx 0,041 m = 41 mm

Passo 5

A tensão máxima de flexão ocorre no meio do vão e vale
sigmamax = Mmax,cI,
onde Mmax=P,L/4 e c=h/2. Assim, com L=0,041 m,
Mmax = 500times0,0414approx5,13 Ncdot m, c = 0,0025 m,
sigmamax = 5,13times0,00252,08times10^-10 approx 6,15times10^7 Pa = 61,5 MPa

Passo 6

Comparando sigmamax=61,5 MPa com a resistência à flexão sigmaf=85 MPa, vemos que sigmamax<sigmaf, logo não ocorre fratura.

Resposta

A distância mínima entre os apoios deve ser Lapprox41 mm. A tensão de flexão máxima é cerca de 61,5 MPa, inferior à resistência de 85 MPa, portanto não há fratura.

Exercícios relacionados