Óleo a 20{ }^{\circ} \mathrm{C}\left(\rho=888 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}\right. e \left.\mu=0,800 \mathrm{~kg} / \mathrm{m} \mathrm{s}\right) escoa estacionariamente através de um tubo de 5 cm de diâmetro e 40 m de comprimento. A pressão na entrada e saída do tubo é medida como 745 kPa e 97 kPa , respectivamente. Determine a vazão do óleo através do tubo supondo que o tubo seja
horizontal

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos (converti unidades quando necessário):
  • Pedido: determinar a vazão volumétrica do óleo que escoa estacionariamente pelo tubo horizontal.
  • Dados fornecidos:
    • pressão de entrada: p_1 = 745\\ \text{kPa} = 745000\\ \text{Pa},
    • pressão de saída: p_2 = 97\\ \text{kPa} = 97000\\ \text{Pa},
    • diferença de pressão: \Delta p = p_1 - p_2 = 745000 - 97000 = 648000\\ \text{Pa},
    • diâmetro do tubo: D = 5\\ \text{cm} = 0{,}05\\ \text{m},
    • comprimento do tubo: L = 40\\ \text{m},
    • massa específica do óleo: \rho = 888\\ \text{kg}\!/\!\text{m}^3,
    • viscosidade dinâmica: \mu = 0{,}800\\ \text{kg}\!/\!( \text{m}\,\text{s}) = 0{,}800\\ \text{Pa}\cdot\text{s}.
  • Observação: o tubo é horizontal, portanto não há variação de altura (energia potencial gravitacional não entra na conta).

Passo 2

Que método usar e por quê (estratégia):
  • Para escoamento laminar em um tubo circular rígido, usa-se a lei de Hagen–Poiseuille que relaciona \Delta p, geometria, viscosidade e vazão volumétrica Q: Q = \frac{\pi\,D^{4}}{128\,\mu\,L}\,\Delta p.
  • No entanto, essa fórmula só é válida se o escoamento for laminar (em termos práticos, se o número de Reynolds \mathrm{Re} for menor que \sim 2000). Não conhecemos Q ainda (e \mathrm{Re} depende de Q), mas a prática comum é:
    1. aplicar a fórmula de Poiseuille para obter um Q inicial;
    2. calcular \mathrm{Re} com esse Q;
    3. verificar se \mathrm{Re}<2000. Se sim, a suposição laminar é consistente; se não, seria necessário usar métodos para escoamento turbulento (Darcy–Weisbach + fator de atrito).
  • Vou seguir esse caminho: deduzir rapidamente a fórmula (para aprender), aplicar, e verificar \mathrm{Re}.

Passo 3

Pequena derivação didática da fórmula de Hagen–Poiseuille (intuição e passos principais):
  • Considerando escoamento estacionário, incompressível, totalmente desenvolvido e axisimétrico em um tubo cilíndrico, a equação reduzida para a componente axial da velocidade u(r) é \frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{du}{dr}\right) = \frac{1}{\mu}\frac{dp}{dx}.Aqui:
    • r é a coordenada radial (de 0 no centro até R na parede),
    • u(r) é a velocidade axial em função de r,
    • \mu é a viscosidade dinâmica,
    • dp/dx é o gradiente de pressão ao longo do comprimento do tubo (constante para escoamento uniforme).
  • Integrando essa equação com condição de não deslizamento u(R)=0 e regularidade em r=0 obtém-se o perfil parabólico u(r) = -\frac{1}{4\mu}\frac{dp}{dx}\left(R^{2}-r^{2}\right),onde R = D/2 é o raio.
  • O gradiente de pressão é \dfrac{dp}{dx} \approx -\dfrac{\Delta p}{L} (sinal negativo porque a pressão decresce no sentido do escoamento). Substituindo: u(r) = \frac{\Delta p}{4\mu L}\left(R^{2}-r^{2}\right).
  • A vazão volumétrica Q é a integral da velocidade sobre a seção transversal circular: Q = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{R} u(r)\,r\,dr\,d\theta = 2\pi\int_{0}^{R} u(r)\,r\,dr.Substituindo u(r) e integrando: Q = 2\pi\frac{\Delta p}{4\mu L}\int_{0}^{R} \left(R^{2}-r^{2}\right)r\,dr = \frac{\pi\Delta p}{2\mu L}\left[\frac{R^{4}}{4}\right] = \frac{\pi R^{4}}{8\mu L}\,\Delta p.
  • Em termos do diâmetro D (lembrando que R^{4}=(D/2)^{4}=D^{4}/16): Q = \frac{\pi D^{4}}{128\,\mu\,L}\,\Delta p.
  • Explicando as variáveis:
    • Q é a vazão volumétrica (m³/s),
    • D é o diâmetro do tubo (m),
    • \mu é a viscosidade dinâmica (Pa·s),
    • L é o comprimento do tubo (m),
    • \Delta p é a queda de pressão ao longo do tubo (Pa).

Passo 4

Aplicando a fórmula com os números dados (cálculos passo a passo):
  • Primeiro, computar D^{4}: D^{4} = (0{,}05)^{4} = 6{,}25\times10^{-6}\\ \text{m}^{4}.
  • Calcular o numerador \pi D^{4}: \pi D^{4} = \pi \times 6{,}25\times10^{-6} \approx 1{,}9635\times10^{-5}\\ \text{m}^{4}.
  • Calcular o denominador 128\,\mu\,L: 128\,\mu\,L = 128\times 0{,}800\times 40 = 4096.Observação: unidades resultam em \text{Pa}\cdot\text{s}\cdot\text{m} = \text{(Pa·s·m)} e, ao multiplicar por \Delta p em Pa e dividir, teremos m³/s corretamente.
  • Agora aplicar a fórmula Q = \frac{\pi D^{4}}{128\,\mu\,L}\,\Delta p = \frac{1{,}9635\times10^{-5}}{4096}\times 648000.
  • Fazer a divisão intermediária: \frac{1{,}9635\times10^{-5}}{4096} \approx 4{,}793\times10^{-9}\\ \text{m}^{4}\!/\!(\text{Pa}\cdot\text{s}\cdot\text{m}).
  • Multiplicando por \Delta p: Q \approx 4{,}793\times10^{-9}\times 648000 \approx 3{,}106\times10^{-3}\\ \text{m}^{3}/\text{s}.

Passo 5

Verificação da hipótese de escoamento laminar (cálculo do número de Reynolds):
  • Área da seção: A = \frac{\pi D^{2}}{4} = \frac{\pi (0{,}05)^{2}}{4} = \pi\times 0{,}000625 \approx 1{,}9635\times10^{-3}\\ \text{m}^{2}.
  • velocidade média: V_{\text{m}} = \frac{Q}{A} \approx \frac{3{,}106\times10^{-3}}{1{,}9635\times10^{-3}} \approx 1{,}582\\ \text{m}/\text{s}.
  • número de Reynolds: \mathrm{Re} = \frac{\rho\,V_{\text{m}}\,D}{\mu} = \frac{888\times 1{,}582\times 0{,}05}{0{,}800} \approx 88.
  • Interpretação: \mathrm{Re}\approx 88 \ll 2000, portanto o escoamento é laminar e o uso da fórmula de Hagen–Poiseuille foi apropriado. Boa notícia — nosso raciocínio foi consistente.

Passo 6

Resumo final e unidades alternativas (para ficar prático):
  • Vazão calculada: Q \approx 3{,}106\times10^{-3}\\ \text{m}^{3}/\text{s}.
  • Em litros por segundo: Q \approx 3{,}106\\ \text{L}/\text{s}.
  • Em \text{m}^{3}/\text{h}: Q \times 3600 \approx 11{,}18\\ \text{m}^{3}/\text{h}.
  • Comentário encorajador: o procedimento foi assumir Poiseuille + verificar \mathrm{Re}; como \mathrm{Re} ficou bem baixo, a solução é confiável. Se \mathrm{Re} tivesse sido grande, teríamos trocado o método por um baseado em perda de carga turbulenta (Darcy–Weisbach) e resolveríamos iterativamente.

Resposta

Q = 3{,}11\times10^{-3}\\ \text{m}^{3}/\text{s} \approx 3{,}11\\ \text{L}/\text{s}

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