Óleo a
e
escoa estacionariamente através de um tubo de 5 cm de diâmetro e 40 m de comprimento. A pressão na entrada e saída do tubo é medida como 745 kPa e 97 kPa , respectivamente. Determine a vazão do óleo através do tubo supondo que o tubo seja
horizontal
horizontal
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que temos (converti unidades quando necessário):
- Pedido: determinar a vazão volumétrica do óleo que escoa estacionariamente pelo tubo horizontal.
- Dados fornecidos:
- pressão de entrada:
, - pressão de saída:
, - diferença de pressão:
, - diâmetro do tubo:
, - comprimento do tubo:
, - massa específica do óleo:
, - viscosidade dinâmica:
.
- pressão de entrada:
- Observação: o tubo é horizontal, portanto não há variação de altura (energia potencial gravitacional não entra na conta).
Passo 2
Que método usar e por quê (estratégia):
- Para escoamento laminar em um tubo circular rígido, usa-se a lei de Hagen–Poiseuille que relaciona
, geometria, viscosidade e vazão volumétrica : - No entanto, essa fórmula só é válida se o escoamento for laminar (em termos práticos, se o número de Reynolds
for menor que ). Não conhecemos ainda (e depende de ), mas a prática comum é: - aplicar a fórmula de Poiseuille para obter um
inicial; - calcular
com esse ; - verificar se
. Se sim, a suposição laminar é consistente; se não, seria necessário usar métodos para escoamento turbulento (Darcy–Weisbach + fator de atrito).
- aplicar a fórmula de Poiseuille para obter um
- Vou seguir esse caminho: deduzir rapidamente a fórmula (para aprender), aplicar, e verificar
.
Passo 3
Pequena derivação didática da fórmula de Hagen–Poiseuille (intuição e passos principais):
- Considerando escoamento estacionário, incompressível, totalmente desenvolvido e axisimétrico em um tubo cilíndrico, a equação reduzida para a componente axial da velocidade
é Aqui: -
é a coordenada radial (de no centro até na parede), -
é a velocidade axial em função de , -
é a viscosidade dinâmica, -
é o gradiente de pressão ao longo do comprimento do tubo (constante para escoamento uniforme).
-
- Integrando essa equação com condição de não deslizamento
e regularidade em obtém-se o perfil parabólico onde é o raio. - O gradiente de pressão é
(sinal negativo porque a pressão decresce no sentido do escoamento). Substituindo: - A vazão volumétrica
é a integral da velocidade sobre a seção transversal circular: Substituindo e integrando: - Em termos do diâmetro
(lembrando que ): - Explicando as variáveis:
-
é a vazão volumétrica (m³/s), -
é o diâmetro do tubo (m), -
é a viscosidade dinâmica (Pa·s), -
é o comprimento do tubo (m), -
é a queda de pressão ao longo do tubo (Pa).
-
Passo 4
Aplicando a fórmula com os números dados (cálculos passo a passo):
- Primeiro, computar
: - Calcular o numerador
: - Calcular o denominador
: Observação: unidades resultam em e, ao multiplicar por em Pa e dividir, teremos m³/s corretamente. - Agora aplicar a fórmula
- Fazer a divisão intermediária:
- Multiplicando por
:
Passo 5
Verificação da hipótese de escoamento laminar (cálculo do número de Reynolds):
- Área da seção:
- velocidade média:
- número de Reynolds:
- Interpretação:
, portanto o escoamento é laminar e o uso da fórmula de Hagen–Poiseuille foi apropriado. Boa notícia — nosso raciocínio foi consistente.
Passo 6
Resumo final e unidades alternativas (para ficar prático):
- Vazão calculada:
. - Em litros por segundo:
. - Em
: . - Comentário encorajador: o procedimento foi assumir Poiseuille + verificar
; como ficou bem baixo, a solução é confiável. Se tivesse sido grande, teríamos trocado o método por um baseado em perda de carga turbulenta (Darcy–Weisbach) e resolveríamos iterativamente.