–17 Uma xícara de alumínio com um volume de 100 cm^3 está cheia de glicerina a 22^circ C. Que volume de glicerina é derramado se a temperatura da glicerina e da xícara aumenta para 28^circ C ? (O coeficiente de dilatação volumétrica da glicerina é 5,1 times 10^-4 / C^circ.)
  • 18 A 20^circ C, uma barra tem exatamente 20,05 cm de comprimento, de acordo com uma régua de aço. Quando a barra e a régua são colocadas em um forno a 270^circ C, a barra passa a medir 20,11 cm de acordo com a mesma régua. Qual é o coeficiente de expansão linear do material de que é feita a barra?

Passo 1

Temos duas perguntas envolvendo dilatações térmicas:
1. Uma xícara de alumínio de volume inicial V0=100,c m^3 cheia de glicerina a 22^circC. Ao aquecer para 28^circC a glicerina e a xícara se dilatam volumetricamente. Queremos o volume de glicerina que transborda.
2. Uma régua de aço e uma barra medida por ela. A 20^circC a barra mede 20,05,cm segundo a régua. A 270^circC a leitura passa a ser 20,11,cm. Queremos o coeficiente de expansão linear alpharm barra, sabendo-se que a régua se dilata com alpharm açoç.

Passo 2

Para o transbordamento de glicerina usamos que o aumento de volume da glicerina é
De<a Vrm g = V0,betarm g,De<a T
e o da xícara de alumínio é
De<a Vrm c = V0,gammarm Al,De<a T,
onde betarm g=5,1times10^-4/^circC e gammarm Al=3,alpharm Al. Tomamos alpharm Al=2,4times10^-5/^circC, logo
gammarm Al=3cdot2,4times10^-5=7,2times10^-5/^circC,
e De<a T=28-22=6^circC. O volume que transborda é
De<a V = De<a Vrm g-De<a Vrm c

Passo 3

Calculemos numericamente:
De<a Vrm g=100cdot5,1times10^-4cdot6=0,306 cm^3,
De<a Vrm c=100cdot7,2times10^-5cdot6=0,0432 cm^3,
De<a V=0,306-0,0432=0,2628 cm^3approx0,263 cm^3

Passo 4

Para o segundo item, chamemos L0=20,05,cm o comprimento da barra a T0=20^circC, a régua tem coeficiente alpharm açoç e a barra alpharm barra. A temperatura final é T=270^circC, logo De<a T=250^circC.
  • O comprimento real da barra a T é
Lrm barra(T)=L0l(1+alpharm barra,De<a Tr)
  • Cada centímetro da régua a T vale
1rm cm(T)=1cdotl(1+alpharm aço,De<a Tr),cm reais ç
Se a leitura na régua for N=20,11 marcas, o comprimento real medido é
N,(1+alpharm aço,De<a T) ç
e isso deve coincidir com Lrm barra(T). Assim
20,11l(1+alpharm aço,250r) =20,05l(1+alpharm barra,250r) ç

Passo 5

Isolando alpharm barra:
1+alpharm barra,250 =20,1120,05,l(1+alpharm aço,250r), ç
alpharm barra =dfrac20,1120,05l(1+alpharm aço,250r)-1250 ç
Tomando o valor típico alpharm aço=1,2times10^-5/^circCç, temos
1+alpharm aço,250 =1+1,2times10^-5cdot250=1,003, 20,1120,05approx1,002993, ç
alpharm barra =1,002993cdot1,003-1250 approx1,006001-1250 =2,40times10^-5/^circC

Resposta

(a) 0,263,c m^3 de glicerina transbordam.
(b) O coeficiente de expansão linear da barra é aproximadamente 2,4times10^-5/^circC.

Exercícios relacionados