Q 170 Um industrial deseja construir uma caixa aberta de base quadrada e área de superfície de 108 m^2. Que dimensões darão uma caixa com volume máximo?

Passo 1

O enunciado pede uma caixa aberta de base quadrada (lado x) e altura h, com área de superfície total igual a 108:m^2, de modo que o volume seja máximo.
Conteúdo: otimização com restrição.
Estratégia: usar a restrição de área para escrever h em função de x e substituir na função volume para obter V(x). Em seguida, achar o ponto crítico de V(x) por derivadas.

Passo 2

Da restrição da área de superfície (base sem tampa mais quatro laterais), temos
x^2 + 4xh = 108
Isolando h,
h = 108 - x^24x

Passo 3

A função volume é
V = x^2,h
Substituindo h em função de x,
V(x) = x^2 cdot 108 - x^24x = 108x - x^34

Passo 4

Para maximizar, calculamos a derivada e igualamos a zero:
V'(x) = 108 - 3x^24 Longrightarrow 108 - 3x^2 = 0 Longrightarrow x^2 = 36 Longrightarrow x = 6(só consideramos x>0) ó

Passo 5

Substituindo x=6 em ;h = 108 - x^24x,
h = 108 - 364cdot 6 = 7224 = 3

Passo 6

Para checar que é máximo, note que
V''(x) = -6x4,
e em x=6 temos V''(6) = -9 < 0, confirmando um ponto de máximo.

Resposta

A base deve ser quadrada de 6:m de lado e a altura 3:m.

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