Q 170 Um industrial deseja construir uma caixa aberta de base quadrada e área de superfície de
. Que dimensões darão uma caixa com volume máximo?
Passo 1
O enunciado pede uma caixa aberta de base quadrada (lado
) e altura
, com área de superfície total igual a
, de modo que o volume seja máximo.
Conteúdo: otimização com restrição.
Estratégia: usar a restrição de área para escrever em função de
e substituir na função volume para obter
. Em seguida, achar o ponto crítico de
por derivadas.
Conteúdo: otimização com restrição.
Estratégia: usar a restrição de área para escrever
Passo 2
Da restrição da área de superfície (base sem tampa mais quatro laterais), temos
Isolando
,
Passo 3
A função volume é
Substituindo
em função de
,
Passo 4
Para maximizar, calculamos a derivada e igualamos a zero:
Passo 5
Substituindo
em
,
Passo 6
Para checar que é máximo, note que
e em
temos
, confirmando um ponto de máximo.
Resposta
A base deve ser quadrada de
de lado e a altura
.