4.8P Calcule o potencial eletrostático varphi(x, y, z) no ponto A(0,0, z) devido a uma distribuição uniforme de carga elétrica, com densidade rho, no disco x^2+y^2 <= a^2. Qual o campo elétrico E no
ponto A ? [resp. varphi=2 pi rho(raiza^2+z^2-|z|) ; E=-nabla varphi=2 pi rho z(1|z|-1raiza^2+z^2) k ]

Passo 1

O enunciado pede o potencial eletrostático varphi(x,y,z) no ponto A(0,0,z) devido a uma distribuição uniforme de carga (densidade rho) num disco de raio a no plano z=0. Em eletrostática, usamos o princípio da superposição e a expressão elementar do potencial
dvarphi = 1r,dq
(adotando unidades em que o fator 1/(4pivarepsilon0)=1). Como a distribuição é sobre uma área, dq=rho,dA e a distância de um ponto genérico (r,theta,0) até A é raizr^2+z^2.

Passo 2

Escolhemos coordenadas cilíndricas (r,theta) no disco. Então
varphi(0,0,z) =integraldiscorho,dAraizr^2+z^2 =rhointegral0^2pi!!integral0^ar,dr,dthetaraizr^2+z^2
A parte angular é trivial: integral0^2pidtheta=2pi.

Passo 3

Fica
varphi(0,0,z) =2pi,rhointegral0^ar,drraizr^2+z^2
Para calcular
integral0^ar,drraizr^2+z^2, façamos a substituição u=r^2+z^2, daí du=2r,dr. Então
integral0^ar,drraizr^2+z^2 =12integralz^2^a^2+z^2!u^-1/2du =[u^1/2]z^2^a^2+z^2 =raiza^2+z^2-|z|
Logo
varphi(0,0,z) =2pi,rhol(raiza^2+z^2-|z|r)

Passo 4

O campo elétrico é vec E=-nablavarphi. Como varphi depende só de z, temos
Ez=-dvarphidz =-2pi,rhoddzl(raiza^2+z^2-|z|r)
Derivando:
ddzraiza^2+z^2=zraiza^2+z^2, ddz|z|=sgn(z)=z|z|
Logo
Ez =-2pi,rhol(tfraczraiza^2+z^2-tfracz|z|r) =2pi,rho,zl(tfrac1|z|-tfrac1raiza^2+z^2r)
E Er=Etheta=0, então vec E=Ez,k.

Resposta

boxed varphi(0,0,z)=2pi,rhol(raiza^2+z^2-|z|r), vec E =2pi,rho,zl(tfrac1|z|-tfrac1raiza^2+z^2r)k

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