(2,0) Seja f(x, y)=1x sen y.
(a) Encontre o polinômio de Taylor P1 de ordem 1 de f em torno de ( 1,0 );
(b) Mostre que |f(x, y)-P1(x, y)| <=(x-1)^2+(x-1)|y|+|y|^22, se x >= 1 e y in R.

Passo 1

O enunciado pede a linearização (polinômio de Taylor de ordem 1) de
f(x,y)=1xsen y
em torno de (1,0) e, em seguida, um estimativa do erro
l|f(x,y)-P1(x,y)r|<= (x-1)^2+(x-1)|y|+y^22
para x>=1. Vamos lembrar que, para uma função de duas variáveis,
P1(x,y)=f(a,b)+fx(a,b),(x-a)+fy(a,b),(y-b),
onde (a,b)=(1,0).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de :
Em temos

Passo 3

Substituindo em
P1(x,y)=f(1,0)+fx(1,0),(x-1)+fy(1,0),(y-0)
ficamos com
P1(x,y)=0 + 0cdot(x-1)+1cdot y = y

Passo 4

Para o erro, escrevemos
f(x,y)-P1(x,y) =sen yx-y =sen yl(tfrac1x-1r)+(sen y - y)
Logo,
l|f(x,y)-P1(x,y)r| <= l|sen yr|l|tfrac1x-1r| +l|sen y - yr|

Passo 5

Usamos as desigualdades padrão para x>=1 e todo yinR:
l|tfrac1x-1r|=x-1x<= x-1, |sen y|<=|y|, |sen y - y|<=y^22
Então
l|f(x,y)-P1(x,y)r| <= |y|,(x-1)+y^22

Passo 6

Como (x-1)^2>=0, podemos somar esse termo ao lado direito sem violar a desigualdade, obtendo exatamente
l|f(x,y)-P1(x,y)r| <= (x-1)^2+(x-1)|y|+y^22

Resposta

(a) P1(x,y)=y.
(b) Está demonstrado que, para x>=1 e yinR,
l|f(x,y)-P1(x,y)r|<= (x-1)^2+(x-1)|y|+y^22

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