Seja
.
(a) Encontre o polinômio de Taylor
de ordem 1 de
em torno de ( 1,0 );
(b) Mostre que
, se
e
.
(a) Encontre o polinômio de Taylor
(b) Mostre que
Passo 1
O enunciado pede a linearização (polinômio de Taylor de ordem 1) de
em torno de
e, em seguida, um estimativa do erro
para
x>=1 . Vamos lembrar que, para uma função de duas variáveis,
onde
(a,b)=(1,0) .
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de
:
Em
temos
Passo 3
Substituindo em
ficamos com
Passo 4
Para o erro, escrevemos
Logo,
Passo 5
Usamos as desigualdades padrão para
x>=1 e todo
yinR :
Então
Passo 6
Como
(x-1)^2>=0 , podemos somar esse termo ao lado direito sem violar a desigualdade, obtendo exatamente
Resposta
(a)
P1(x,y)=y .
(b) Está demonstrado que, parax>=1 e
yinR ,
(b) Está demonstrado que, para