4.8Q No exercício precedente qual seria o potencial eletrostático e o campo elétrico no ponto A, se a densidade no ponto (x, y) do disco fosse rho(x, y)=raizx^2+y^2 ? Use os resultados:
integral d rraizr^2+z^2=ln |r+raizr^2+z^2| ; integral raizr^2+z^2 d r=r2 raizr^2+z^2+z^22 ln |r+raizr^2+z^2|
e encontre as seguintes expressões para o potencial e o campo elétrico:
varphi & =pi z^2[az raiz1+(a / z)^2-ln (az+raiz1+(a / z)^2)] E & =2 pi z[ln (az+raiz1+(a / z)^2)-az raiz1+(a / z)^2] k

Passo 1

Temos um disco de raio a com densidade superficial em cada ponto (x,y) dada por rho(x,y)=raizx^2+y^2. Queremos o potencial eletrostático varphi e o campo vec E no ponto A situado no eixo do disco a uma distância z do centro. Vamos usar coordenadas cilíndricas (r,theta,z), a simetria axial e os resultados de integrais fornecidos.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas o elemento de área é dA=r,dr,dtheta e a distância de um ponto do disco até A é raizr^2+z^2. Assim
varphi(z) =integraldiscorho(r),dAraizr^2+z^2 =2piintegral0^arcdot r,drraizr^2+z^2 =2piintegral0^ar^2,drraizr^2+z^2

Passo 3

Escrevemos r^2=(r^2+z^2)-z^2 para usar as integrais dadas:
integral0^ar^2,drraizr^2+z^2 =integral0^araizr^2+z^2,dr - z^2integral0^adrraizr^2+z^2
Pelo enunciado,
integral0^araizr^2+z^2,dr =l[tfracr2raizr^2+z^2+tfracz^22lnl(r+raizr^2+z^2r)r]0^a,
integral0^adrraizr^2+z^2 =l[lnl(r+raizr^2+z^2r)r]0^a
Fazendo as contas obtemos
varphi(z) =2piltfraca2raiza^2+z^2-tfracz^22lna+raiza^2+z^2zr =pi araiza^2+z^2-pi z^2lna+raiza^2+z^2z,
que pode ser reescrito como
varphi(z) =pi z^2gl[azraiz1+l(azr)^2 -lnl(az+raiz1+l(azr)^2r)gr]

Passo 4

O campo elétrico no eixo é vec E=Ez,vec k com
Ez=-dvarphidz
Aplicando a derivada por partes e simplificando (usando a regra do produto e a cadeia), chega-se a
Ez =2pi zgl[lnl(az+raiz1+l(azr)^2r) -azraiz1+l(azr)^2gr]

Resposta

varphi(z) =pi z^2gl[azraiz1+l(azr)^2 -lnl(az+raiz1+l(azr)^2r)gr],
vec E(z) =2pi zgl[lnl(az+raiz1+l(azr)^2r) -azraiz1+l(azr)^2gr]vec k

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