1.1818 (UFMG)

Escreva a matriz de rotação em torno do eixo x :
R_{x}(\theta)=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & \cos \theta & -\sin \theta \\\\ 0 & \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede: escrever a matriz de rotação em torno do eixo x.
Informações dadas e o que sabemos do enunciado:
  • Há um ângulo de rotação \theta (valor arbitrário) em torno do eixo x.
  • A matriz procurada será uma matriz 3\times3, denotada por R_{x}(\theta).
  • Não há outros dados numéricos; a resposta deve ser em função de \theta.

Passo 2

Entender geometricamente o que significa "rotação em torno do eixo x".
  • Rotação em torno do eixo x deixa a coordenada x inalterada: a componente ao longo de x não muda.
  • A rotação age apenas no plano formado pelas coordenadas y e z (o plano yz). Ou seja, no plano yz é aplicada uma rotação usual de ângulo \theta.
  • Portanto, para construir a matriz, basta combinar a ação trivial em x (identidade) com a matriz de rotação em 2D aplicada ao par (y,z).

Passo 3

Relembrar a matriz de rotação em 2D (no plano):
A rotação de um vetor (u,v) por um ângulo \theta no plano é dada pela multiplicação pela matriz
\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\[4pt] \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}.
Explicando: se um vetor tem coordenadas (u,v), após rotação por \theta suas novas coordenadas são
\begin{pmatrix} u'\\[4pt] v' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\[4pt] \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u\\[4pt] v \end{pmatrix},
ou seja u' = u\cos\theta - v\sin\theta e v' = u\sin\theta + v\cos\theta.]

Passo 4

Aplicar isso ao plano yz mantendo x igual.
  • Um vetor em 3D é (x,y,z). Depois da rotação em torno do eixo x queremos (x',y',z') com x' = x e o par (y',z') obtido pela rotação 2D de (y,z).
    Usando a matriz 2D acima no bloco yz, a transformação fica:
y' = y\cos\theta - z\sin\theta, \qquad z' = y\sin\theta + z\cos\theta, \qquad x' = x.

Passo 5

Escrever a matriz 3\times3 que realiza essa transformação. Colocando as equações na forma matricial (as colunas são as imagens dos vetores base \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3), obtemos o bloco identidade em x e o bloco de rotação em yz:
R_{x}(\theta)= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & \cos\theta & -\sin\theta\\[4pt] 0 & \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}.]

Passo 6

Verificações rápidas (ajudam a fixar e são úteis na prova):
  • Aplicando R_{x}(\theta) a \mathbf{e}_1=(1,0,0) obtém-se \mathbf{e}_1 (eixo x fixo).
  • Aplicando a \mathbf{e}_2=(0,1,0) obtém-se (0,\cos\theta,\sin\theta).
  • Aplicando a \mathbf{e}_3=(0,0,1) obtém-se (0,-\sin\theta,\cos\theta).
  • A matriz é ortogonal: R_{x}(\theta)^{T}R_{x}(\theta)=I, pois o bloco 2\times2 é uma rotação 2D com \cos^2\theta+\sin^2\theta=1.
  • O determinante é 1: \det R_{x}(\theta)=1\cdot\det do bloco 2\times2 =1.

Resposta

R_{x}(\theta)= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & \cos\theta & -\sin\theta\\[4pt] 0 & \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}]

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