Q 175 Um fabricante deseja construir um recipiente, na forma de um cilindro circular reto, que deverá armazenar
de petróleo (o recipiente possui as tampas circulares). O custo de produção do recipiente é medido pela área total do recipiente. Determine a altura
e o raio da base
do cilindro (ambos medidos em cm) que minimizam o custo de produção.
Passo 1
O enunciado pede para escolhermos
(raio) e
(altura) de um cilindro que armazene
cm
de petr’oleo, de forma a minimizar o custo de produ\c{c}~ao, que 'e proporcional `a `area total do cilindro (incluindo as duas tampas). Vamos usar c’alculo de otimiza\c{c}~ao com restri\c{c}~ao via elimina\c{c}~ao de uma vari’avel.
Passo 2
O volume de um cilindro é dado por
Como precisamos de
, temos a restrição
Passo 3
A área total
do cilindro (duas bases mais superfície lateral) é
Substituindo
, obtemos função de uma só variável:
Passo 4
Para encontrar o mínimo de
, derivamos em relação a
e igualamos a zero:
Igualando a zero,
Passo 5
Com
cm, a altura vem de
:
É fácil verificar que essa escolha dá mínimo local (segunda derivada positiva).