Q 175 Um fabricante deseja construir um recipiente, na forma de um cilindro circular reto, que deverá armazenar 2.000 pi cm^3 de petróleo (o recipiente possui as tampas circulares). O custo de produção do recipiente é medido pela área total do recipiente. Determine a altura h e o raio da base r do cilindro (ambos medidos em cm) que minimizam o custo de produção.

Passo 1

O enunciado pede para escolhermos r (raio) e h (altura) de um cilindro que armazene 2.000pi cm ^3 de petr’oleo, de forma a minimizar o custo de produ\c{c}~ao, que 'e proporcional `a `area total do cilindro (incluindo as duas tampas). Vamos usar c’alculo de otimiza\c{c}~ao com restri\c{c}~ao via elimina\c{c}~ao de uma vari’avel.

Passo 2

O volume de um cilindro é dado por
V = pi r^2 h
Como precisamos de V = 2.000pi, temos a restrição
pi r^2 h = 2.000pi Longrightarrow r^2 h = 2.000 Longrightarrow h = 2.000r^2

Passo 3

A área total A do cilindro (duas bases mais superfície lateral) é
A = 2pi r^2 + 2pi r h
Substituindo h = 2.000/r^2, obtemos função de uma só variável:
A(r) = 2pi r^2 + 2pi r cdot 2.000r^2 = 2pi r^2 + 4.000pir

Passo 4

Para encontrar o mínimo de A(r), derivamos em relação a r e igualamos a zero:
A'(r) = ddrl(2pi r^2 + 4.000pi,r^-1r) = 4pi r - 4.000pi,r^-2
Igualando a zero,
4pi r - 4.000pi,r^-2 = 0 Longrightarrow 4r = 4.000r^2 Longrightarrow 4r^3 = 4.000 Longrightarrow r^3 = 1.000 Longrightarrow r = 10 cm

Passo 5

Com r=10 cm, a altura vem de h = 2.000/r^2:
h = 2.00010^2 = 2.000100 = 20 cm
É fácil verificar que essa escolha dá mínimo local (segunda derivada positiva).

Resposta

r = 10 cm e h = 20 cm.

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