Resolva pelo método de separação de variáveis:
lut=k ux x ux(0, t)=0, ux(L, t)=0 u(x, 0)=x

Passo 1

O enunciado fornece o PDE de calor ;ut=k,uxx; em 0<x<L, com condições de contorno ;ux(0,t)=0 e ;ux(L,t)=0 e condição inicial ;u(x,0)=x. Vamos usar o método de separação de variáveis e expansão em série de Fourier cosseno para resolver.

Passo 2

Assumimos solução da forma ;u(x,t)=X(x),T(t). Substituindo em ;ut=k,uxx e dividindo por k,X,T obtemos
T'k,T=X''X=-lambda
onde lambda é a constante de separação. Isso gera as ODEs
T' + k,lambda,T = 0, X'' + lambda,X = 0
As condições de contorno homogêneas ;ux(0,t)=X'(0)T(t)=0 e ;ux(L,t)=0 implicam
X'(0)=0, X'(L)=0

Passo 3

O problema de autovalores
X'' + lambda,X = 0, X'(0)=0, ;X'(L)=0
possui autovalores
lambdan = l(npiLr)^2, n=0,1,2,dots
e autofunções
Xn(x)=cos!l(tfracnpiLxr)
Para cada n, a parte temporal é
Tn(t)=e^-k,lambdan,t

Passo 4

A solução geral é combinação linear dos modos:
u(x,t)=sumn=0^inftyAn,cos!l(tfracnpiLxr),e^-k,(npi/L)^2,t

Passo 5

Impondo u(x,0)=x obtemos a expansão de Fourier cosseno:
x=sumn=0^inftyAncos!l(tfracnpiLxr)
O coeficiente médio é
A0=1Lintegral0^Lx,dx=L2
Para n>=1,
An=2Lintegral0^Lxcos!l(tfracnpiLxr),dx =2Ln^2pi^2l[(-1)^n-1r]
Como (-1)^n-1=0 para n par e =-2 para n ímpar, segue
A2m=0, A2m+1=-4L(2m+1)^2pi^2

Passo 6

Substituindo em u(x,t) resulta
u(x,t)=L2 -summ=0^infty4L(2m+1)^2pi^2 cos!l((2m+1)piLxr) exp!l(-k,(2m+1)^2pi^2L^2,tr)

Resposta

u(x,t)=L2 -summ=0^infty4L(2m+1)^2pi^2 cos!!l(tfrac(2m+1)piLxr) ,exp!!l(-k,tfrac(2m+1)^2pi^2L^2,tr)

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