O enunciado fornece o PDE de calor ;ut=k,uxx; em 0<x<L, com condições de contorno ;ux(0,t)=0 e ;ux(L,t)=0 e condição inicial ;u(x,0)=x. Vamos usar o método de separação de variáveis e expansão em série de Fourier cosseno para resolver.
Passo 2
Assumimos solução da forma ;u(x,t)=X(x),T(t). Substituindo em ;ut=k,uxx e dividindo por k,X,T obtemos
T'k,T=X''X=-lambda
onde lambda é a constante de separação. Isso gera as ODEs
T' + k,lambda,T = 0, X'' + lambda,X = 0
As condições de contorno homogêneas ;ux(0,t)=X'(0)T(t)=0 e ;ux(L,t)=0 implicam