(1.0pts) Considere um número real c e considere a função
f(x)=l c x^2+2 x, x <= 2 x^3-c x, x>2
Determine o valor de c de modo a que f seja contínua em toda a reta real.
Basta determinar c tal que f seja contínua para x=2, pois para x neq 2, f é polinomial. Como
f(2)=lim x 2^- f(x)=lim x 2^- c x^2+2 x=4 c+4 lim x 2^+ f(x)=lim x 2^+ x^3-c x=8-2 c
concluímos que f é contínua para x=2 se e só se 4 c+4=8-2 c, i.e., c=2 / 3.

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= c,x^2+2x,&x<=2, x^3-c,x,&x>2,
e quer f contínua em toda reta. Como cada ramo é polinomial, só precisamos garantir continuidade em x=2.

Passo 2

Para f ser contínua em x=2 é preciso que
limxto2^-f(x)=f(2)=limxto2^+f(x)
Pelo ramo x<=2 temos
f(2)=ccdot2^2+2cdot2=4c+4

Passo 3

Pelo ramo x>2 o limite pela direita é
limxto2^+f(x)=limxto2^+(x^3-cx)=8-2c

Passo 4

Igualando limites e valor em 2:
4c+4=8-2c
6c=4
c=23

Resposta

23

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