( 175 QUESTÃO 1 ( 2,0 pontos): Uma bomba é usada para aumentar a pressáo de 0,44 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} de água de 320 kPa na entrada para 800 kPa na saida. Se a bomba tem uma eficiência de 78 \%, qual é a potência elétrica de que a bomba necessita em Watts A área de saida fica 2,2 \mathrm{~m} acima da área de entrada. Suponha que a áreas de entrada e de saida sejam iguais. Considere \gamma=10.000 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{3}

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte:
  • Vazão: Q = 0{,}44\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
  • Pressão na entrada: p_1 = 320\\ \mathrm{kPa}.
  • Pressão na saída: p_2 = 800\\ \mathrm{kPa}.
  • Diferença de cota (saída acima da entrada): h = 2{,}2\\ \mathrm{m}.
  • Áreas de entrada e saída iguais (logo as velocidades são iguais).
  • Peso específico: \gamma = 10000\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^3.
  • Eficiência da bomba: \eta = 78\% = 0{,}78.
  • Pergunta: qual é a potência elétrica necessária da bomba (em watts)?

Passo 2

Vamos entender o que a bomba precisa fornecer: ela eleva a energia por unidade de tempo do fluido (energia de pressão e energia potencial devido à elevação). A potência hidráulica adicionada pela bomba (energia por segundo entregue ao fluido) é dada por variações de pressão e de carga potencial multiplicadas pela vazão. A expressão geral para a potência hidráulica útil (desprezando variações de energia cinética e perdas) é
P_{\text{hid}} = Q\,(p_2 - p_1) + \gamma\,Q\,(z_2 - z_1),
onde:
  • P_{\text{hid}} é a potência hidráulica (W),
  • Q é a vazão volumétrica ( \mathrm{m}^3/\mathrm{s}),
  • p_2-p_1 é a diferença de pressão (Pa),
  • \gamma é o peso específico do fluido ( \mathrm{N}/\mathrm{m}^3),
  • z_2-z_1 é a diferença de cota (m).
Explicando as variáveis de forma simples: Q diz quantos metros cúbicos por segundo passam; p_2-p_1 é a “pressão extra” que a bomba deve acrescentar; \gamma\,(z_2-z_1) é o trabalho por unidade de volume para subir o fluido na diferença de altura.

Passo 3

Justificativa da simplificação: como as áreas de entrada e saída são iguais, as velocidades do fluido em entrada e saída são iguais. Assim, não há variação de energia cinética entre entrada e saída, e o termo de energia cinética cancela. Também o enunciado não menciona perdas por atrito, então assumimos que a potência hidráulica necessária é somente a soma da contribuição de pressão e da elevação, conforme a fórmula do passo anterior.

Passo 4

Converter unidades para SI e calcular as quantidades intermediárias:
  • Pressões em pascal: p_1 = 320\\ \mathrm{kPa} = 320{,}000\\ \mathrm{Pa}, \quad p_2 = 800\\ \mathrm{kPa} = 800{,}000\\ \mathrm{Pa}.
  • Diferença de pressão: p_2 - p_1 = 800{,}000 - 320{,}000 = 480{,}000\\ \mathrm{Pa}.

Passo 5

Calcular a potência hidráulica termo a termo:
  • Termo de pressão: Q\,(p_2 - p_1) = 0{,}44 \cdot 480{,}000 = 211{,}200\\ \mathrm{W}.(Aqui multiplicamos vazão pela diferença de pressão; o resultado já está em watts porque \mathrm{m}^3/\mathrm{s} \times \mathrm{Pa} = \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}/\mathrm{s} = \mathrm{W}.)
  • Termo de elevação: \gamma\,Q\,h = 10000 \cdot 0{,}44 \cdot 2{,}2 = 9{,}680\\ \mathrm{W}.
  • Somando os dois termos: P_{\text{hid}} = 211{,}200 + 9{,}680 = 220{,}880\\ \mathrm{W}.

Passo 6

Relacionar potência hidráulica com a potência elétrica fornecida à bomba usando a eficiência: a eficiência \eta é a razão entre a potência útil entregue ao fluido e a potência elétrica absorvida pela bomba. Logo
\eta = \frac{P_{\text{hid}}}{P_{\text{el}}} \quad\Longrightarrow\quad P_{\text{el}} = \frac{P_{\text{hid}}}{\eta}.
Substituindo os valores:
P_{\text{el}} = \frac{220{,}880}{0{,}78} \approx 283{,}179{,}49\\ \mathrm{W}.

Passo 7

Interpretação final: a bomba precisa de aproximadamente 2{,}83\times10^{5}\\ \mathrm{W} de potência elétrica para fornecer a potência hidráulica requerida, dado que sua eficiência é 78\%. Força extra de encorajamento: tá ficando na mão — esse tipo de conta é só multiplicar direito e lembrar de converter unidades; você já mandou bem até aqui!

Resposta

P_{\text{el}} \approx 2{,}83\cdot10^{5}\\ \mathrm{W}

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