0,25 QUESTÃO 3 ( \mathbf{2 , 0} pontos): Água é bombeada de um tanque aberto até um vaso fechado com vazão constante de 0,0009 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}, por meio de uma bomba com potência de 745 Watts, conforme o esquema apresentado. Os comprimentos dos trechos de canalização entre os manómetros e a bomba são despreziveis se comparados com o comprimento total da canalização. Calcule o rendimento da bomba e a potência dissipada na canalização. Dados: 1 \mathrm{kgf}=10 \mathrm{~N} ; 1 \mathrm{~m}=100 \mathrm{~cm} e \mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.

Passo 1

Enunciado e o que se pede (resumido, com os dados explícitos fornecidos):\n
  • Água é bombeada com vazão volumétrica constante \dot{Q}=0,0009\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.\n
  • Potência do eixo (potência fornecida ao conjunto pela fonte elétrica) da bomba: P_{\text{eixo}}=745\\ \mathrm{W}.\n
  • Constantes dadas: 1\\ \mathrm{kgf}=10\\ \mathrm{N}, 1\\ \mathrm{m}=100\\ \mathrm{cm} e g=10\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2.\n
  • O enunciado menciona manómetros e alturas (esquema), e pede: calcular o rendimento (eficiência) da bomba e a potência dissipada na canalização.\n
    Observação importante: o enunciado faz referência a um esquema com manómetros e elevações que contêm as informações numéricas necessárias (diferenças de pressão e/ou alturas). Essa figura não foi enviada. Sem os valores das leituras dos manómetros e das elevações (ou sem números equivalentes para a diferença de pressão entre sucção e descarga e a diferença de cota), não é possível obter os valores numéricos pedidos. Vou, porém, explicar passo a passo como resolver a questão assim que esses dados forem conhecidos — ou para quando a figura estiver disponível.

Passo 2

O que vamos calcular (em termos gerais) e as fórmulas-chave.\n
  • Rendimento (eficiência) da bomba \eta é a razão entre a potência hidráulica entregue ao fluido P_{\text{hid}} e a potência de eixo P_{\text{eixo}}:\n
\eta = \frac{P_{\text{hid}}}{P_{\text{eixo}}}.\n
  • A potência dissipada na canalização P_{\text{perda}} é a diferença entre a potência de eixo e a potência hidráulica útil entregue ao fluido:\n
P_{\text{perda}} = P_{\text{eixo}} - P_{\text{hid}}.\n
Essas duas expressões são o alvo final. Agora precisamos saber como obter P_{\text{hid}} a partir das medições dos manómetros, das cotas e da vazão.

Passo 3

Como calcular a potência hidráulica entregue pela bomba ( P_{\text{hid}}).\n
A potência hidráulica é a massa que passa por segundo multiplicada pela variação de energia específica (energia por unidade de massa) que a bomba confere ao fluido. Em forma prática e conveniente, para fluxo incompressível:\n
P_{\text{hid}} = \dot{m}\left(\frac{p_2}{\rho} + \frac{v_2^2}{2} + g z_2 - \frac{p_1}{\rho} - \frac{v_1^2}{2} - g z_1\right),\n
onde:\n
  • \dot{m} é a vazão mássica ( \dot{m}=\rho \dot{Q}),\n
  • \rho é a densidade da água (usar \rho\approx 1000\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3 salvo outro dado),\n
  • p_1 e p_2 são as pressões nos pontos medidos pelos manómetros antes e depois da bomba (ou nos pontos indicados no esquema),\n
  • v_1 e v_2 são as velocidades nos mesmos pontos (se a tubulação tiver mesma seção e a vazão for constante, pode-se ter v_1\approx v_2 e o termo cinético se anula),\n
  • z_1 e z_2 são as cotas (alturas) dos pontos.\n
    Explicação didática: a expressão dentro do parêntese é a diferença de energia específica entre saída e entrada (pressão específica + energia cinética específica + energia potencial). Multiplicando por \dot{m} obtemos potência (energia por tempo).

Passo 4

Simplificações usuais em provas e como aplicá-las (para facilitar contas sem calculadora).\n
  • Muitas vezes os manómetros estão ligados em pontos de mesma área da tubulação e as velocidades podem ser desprezíveis ou iguais ( v_1\approx v_2), então o termo \frac{v_2^2}{2}-\frac{v_1^2}{2} é zero.\n
  • Quando um manómetro fornece diretamente uma diferença de coluna líquida \Delta h entre pressões, a diferença de pressão (p_2-p_1) é obtida por (p_2-p_1)=\rho_{\text{coluna}}\, g\, \Delta h (use a densidade do fluido do manómetro; se for água, então \rho_{\text{coluna}}=\rho).\n
  • A diferença de energia de pressão por unidade de massa \frac{p_2-p_1}{\rho} pode ser escrita como g vezes uma altura equivalente: \frac{p_2-p_1}{\rho}=g\, h_p, onde h_p é a “altura de pressão” correspondente.\n
    Assim, com as simplificações típicas, a potência hidráulica pode ser escrita de forma muito prática como:\n
P_{\text{hid}} = \rho \dot{Q} \left[g(z_2-z_1) + g h_p + \frac{v_2^2-v_1^2}{2}\right],\n
ou, se v_1\approx v_2,\n
P_{\text{hid}} = \rho \dot{Q} \, g \left[(z_2-z_1) + h_p\right].\n
Aqui (z_2-z_1) é a diferença de cota (metros) e h_p é a altura equivalente associada à diferença de pressão indicada pelos manómetros (metros).

Passo 5

Como obter (p_2-p_1) a partir de um manómetro (detalhe prático).\n
  • Se o manómetro é um simples tubo aberto contendo o mesmo fluido ( \rho), e a diferença de coluna observada entre os ramos é \Delta h, então (p_2-p_1)=\rho g \Delta h.\n
  • Se o manómetro contém fluido diferente (por exemplo mercúrio) com densidade \rho_m, a relação entre (p_2-p_1) e a altura medida exige escrever equilíbrio hidrostatico ao longo do manómetro. Em termos práticos, para um manómetro em U com fluido manométrico de densidade \rho_m e diferença de nível \Delta h_m, uma fórmula útil é\n
p_2-p_1=(\rho_m-\rho)\,g\,\Delta h_m\n
quando as conexões estão à mesma altura no fluido do tubo (ver figura). Se houver dúvida, escreve-se as equações de equilíbrio hidrostatico ponto a ponto e resolve-se para p_2-p_1.\n
Observação: é por isso que eu preciso da figura ou das leituras dos manómetros para saber qual fórmula aplicar e quais valores numéricos usar.

Passo 6

Passos práticos a executar (ordem) assim que tivermos a figura e as leituras numéricas:\n
  1. Ler as diferenças de nível dos manómetros e as cotas z_1 e z_2 do esquema.\n
  2. Determinar (p_2-p_1) a partir dos manómetros usando as fórmulas do passo anterior (considerando a densidade do fluido do manómetro e a densidade da água: \rho\approx 1000\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3).\n
  3. Calcular a vazão mássica: \dot{m}=\rho \dot{Q}. Com os dados do enunciado, podemos já calcular isso:\n \dot{m} = 1000\cdot 0,0009 = 0,9\\ \mathrm{kg/s}.\n
  4. Calcular P_{\text{hid}} usando a expressão do passo 3 (inserir \frac{p_2-p_1}{\rho}, g(z_2-z_1) e, se necessário, os termos cinéticos).\n
  5. Calcular o rendimento: \eta = P_{\text{hid}}/P_{\text{eixo}}.\n
  6. Calcular a potência dissipada: P_{\text{perda}}=P_{\text{eixo}}-P_{\text{hid}}.\n
  7. Fazer verificação de consistência das unidades (tudo em SI) e reportar \eta em percentual se desejado: \eta_{\%}=100\eta\%.

Passo 7

Exemplo simbólico final (forma fechada para substituir números no momento em que você tiver os dados):\n
  • Seja \Delta p = p_2-p_1 (obtido dos manómetros em Pa) e \Delta z = z_2-z_1 (em m). Supondo velocidades desprezíveis ou iguais,\n P_{\text{hid}} = \dot{m}\left(\frac{\Delta p}{\rho} + g\,\Delta z\right) = \rho\dot{Q}\left(\frac{\Delta p}{\rho} + g\,\Delta z\right) = \dot{Q}\left(\Delta p + \rho g\,\Delta z\right).\n
  • Então o rendimento é\n \eta = \frac{\dot{Q}\left(\Delta p + \rho g\,\Delta z\right)}{P_{\text{eixo}}}\n
e a potência dissipada\n P_{\text{perda}} = P_{\text{eixo}} - \dot{Q}\left(\Delta p + \rho g\,\Delta z\right).\n
Basta substituir \dot{Q}=0,0009\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}, \rho=1000\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3, g=10\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2, P_{\text{eixo}}=745\\ \mathrm{W}, e os valores numéricos de \Delta p e \Delta z obtidos na figura.

Passo 8

Resumo motivador e dica de prova (meio amigo, meio técnico).\n
  • Você já tem a parte numérica fácil: \dot{m}=0,9\\ \mathrm{kg/s}. O que falta é transformar as informações dos manómetros em \Delta p e saber a diferença de cota \Delta z.\n
  • Na prova: identifique claramente os pontos 1 e 2 correspondentes aos manómetros, escreva as equações de equilíbrio hydrostático para o manómetro (se for de fluido diferente, não tente adivinhar — escreva as equações e resolva para \Delta p), depois siga a fórmula simbólica do passo 7. Isso evita erro de sinal e unidade.\n
  • Se me enviar a figura ou os valores das leituras dos manómetros e as cotas, eu faço o cálculo numérico completo e detalhado até obter \eta e P_{\text{perda}}.

Resposta

Não é possível calcular numericamente o rendimento da bomba nem a potência dissipada na canalização porque a figura com as leituras dos manómetros e as cotas (valores necessários para obter \Delta p e \Delta z) não foi fornecida.

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