[2, Ex.5, p.323] Prove que se f(x, y) for contínua em (x0, y0) in A=D(f), então f é localmente limitada em (x0, y0), isto é, existem alpha e beta e uma bola aberta B de centro (x0, y0) tais que alpha, para todo (x, y) in B cap A.

Passo 1

Resumo do enunciado e do conteúdo: Queremos mostrar que, para uma função f contínua em um ponto (x0,y0) de seu domínio A=D(f), existe uma vizinhança em que f fica presa entre duas constantes alpha e beta. O conteúdo usado é a definição de continuidade em R^2.

Passo 2

Aplicação da definição de continuidade: Pela definição, para todo varepsilon>0 existe de0 tal que se (x,y)in A e |(x,y)-(x0,y0)|, então
|f(x,y)-f(x0,y0)|

Passo 3

Escolha de varepsilon e obtenção de intervalo de f: Tomando varepsilon=1, obtemos um de0 tal que se (x,y)in A e |(x,y)-(x0,y0)|, então
|f(x,y)-f(x0,y0)|<1,
o que implica
f(x0,y0)-1

Passo 4

Definição da bola e das constantes alpha e beta: Seja
B=l(x,y)inR^2:|(x,y)-(x0,y0)|
e defina
alpha=f(x0,y0)-1, beta=f(x0,y0)+1

Passo 5

Conclusão: Para todo (x,y)in Bcap A temos
alpha
ou seja, f é localmente limitada em (x0,y0).

Resposta

Escolhendo varepsilon=1, definindo a bola aberta B=(x,y):|(x,y)-(x0,y0)| e as constantes alpha=f(x0,y0)-1, beta=f(x0,y0)+1, obtemos alpha para todo (x,y)in Bcap A, provando que f é localmente limitada em (x0,y0).

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