[2, Ex.5, p.323] Prove que se
for contínua em
, então
é localmente limitada em
, isto é, existem
e
e uma bola aberta
de centro
tais que
, para todo
.
Passo 1
Resumo do enunciado e do conteúdo: Queremos mostrar que, para uma função f contínua em um ponto
de seu domínio
, existe uma vizinhança em que f fica presa entre duas constantes
e
. O conteúdo usado é a definição de continuidade em
.
Passo 2
Aplicação da definição de continuidade: Pela definição, para todo
existe
tal que se
e
, então
Passo 3
Escolha de
e obtenção de intervalo de f: Tomando
, obtemos um
tal que se
e
, então
o que implica
Passo 4
Definição da bola e das constantes
e
: Seja
e defina
Passo 5
Conclusão: Para todo
temos
ou seja, f é localmente limitada em
Resposta
Escolhendo
, definindo a bola aberta
e as constantes
,
, obtemos
para todo
, provando que f é localmente limitada em
.