4- Uma fonte pontual irradia som uniformemente em todas as direções. A uma distância de 10 \mathrm{~m}, \mathrm{o} nível de intensidade sonora é de 70 dB .
(a) A que distância da fonte o nível de intensidade é de 60 dB ?
(b) Qual é a potência irradiada por esta fonte?

Passo 1

O enunciado dá uma fonte pontual que irradia som uniformemente. Ele fornece e pede o seguinte:
  • Dado: o nível de intensidade sonora é de \beta_1 = 70\\ \mathrm{dB} a uma distância de r_1 = 10\\ \mathrm{m}. (Peguei r_1=10\\ \mathrm{m} do enunciado/figura enviada.)
  • Pergunta (a): a que distância r_2 o nível de intensidade é \beta_2 = 60\\ \mathrm{dB} ?
  • Pergunta (b): qual é a potência total P irradiada pela fonte?
  • Constante padrão que vamos usar: intensidade de referência \displaystyle I_0 = 10^{-12}\\ \mathrm{W/m^2}.

Passo 2

Fórmula que relaciona nível de intensidade sonora e intensidade:
\beta = 10\log_{10}\!\left(\frac{I}{I_0}\right)
onde
  • \beta é o nível em dB,
  • I é a intensidade sonora em \mathrm{W/m^2},
  • I_0 é a intensidade de referência \displaystyle 10^{-12}\\ \mathrm{W/m^2}.
Isolando I na equação: exponentiando ambos os lados obtemos
I = I_0\,10^{\beta/10}.
Aplicando para \beta_1=70\\ \mathrm{dB}:
I_1 = 10^{-12}\cdot 10^{70/10} = 10^{-12}\cdot 10^{7} = 10^{-5}\\ \mathrm{W/m^2}.
Expliquei: 10^{70/10}=10^7 e multiplicando por 10^{-12} 10^{-5}.

Passo 3

Para uma fonte pontual que irradia uniformemente a intensidade a uma distância r é dada por
I = \frac{P}{4\pi r^2},
onde
  • P é a potência total irradiada (em \mathrm{W}),
  • 4\pi r^2 é a área da superfície esférica de raio r.
Como P é a mesma para r_1 e r_2, a intensidade segue a lei do inverso do quadrado:
\frac{I_1}{I_2} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2.
Primeiro calculemos I_2 para \beta_2=60\\ \mathrm{dB} usando a fórmula do Passo 2:
I_2 = 10^{-12}\cdot 10^{60/10} = 10^{-12}\cdot 10^{6} = 10^{-6}\\ \mathrm{W/m^2}.
Agora resolvemos para r_2:
r_2 = r_1\sqrt{\frac{I_1}{I_2}} = 10\\ \mathrm{m}\cdot\sqrt{\frac{10^{-5}}{10^{-6}}} = 10\\ \mathrm{m}\cdot\sqrt{10} = 10\sqrt{10}\\ \mathrm{m}.
Valor numérico aproximado:
r_2 \approx 10\cdot 3{,}1623 = 31{,}62\\ \mathrm{m}.
Comentário intuitivo: uma queda de 10\\ \mathrm{dB} significa intensidade 10 vezes menor, e como I\propto 1/r^2, a distância aumenta por um fator \sqrt{10}.

Passo 4

Agora achamos a potência P. Usamos I_1 e r_1 na fórmula I = P/(4\pi r^2) e isolamos P:
P = I_1\cdot 4\pi r_1^2.
Substituindo os valores calculados:
P = 10^{-5}\\ \mathrm{W/m^2}\cdot 4\pi \cdot (10\\ \mathrm{m})^2 = 10^{-5}\cdot 4\pi \cdot 100 = 4\pi \cdot 10^{-3}\\ \mathrm{W}.
Valor numérico:
P \approx 4\pi \times 10^{-3}\\ \mathrm{W} \approx 0{,}01257\\ \mathrm{W} = 12{,}57\\ \mathrm{mW}.
Verificação rápida (consistência): usando I_2 e r_2=10\sqrt{10} dá o mesmo P, porque
P = I_2\cdot 4\pi r_2^2 = 10^{-6}\cdot 4\pi \cdot (10\sqrt{10})^2 = 10^{-6}\cdot 4\pi \cdot 100\cdot 10 = 4\pi\cdot 10^{-3}.

Resposta

(a) r_2 = 10\sqrt{10}\\ \mathrm{m} \approx 31{,}62\\ \mathrm{m}
(b) P = 4\pi\cdot 10^{-3}\\ \mathrm{W} \approx 0{,}01257\\ \mathrm{W} \; (12{,}57\\ \mathrm{mW})

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