18.11 (a) Calcule o número de elétrons livres por metro cúbico para o alumínio à temperatura ambiente.
(b) Qual é o número de elétrons livres por átomo de alumínio? Considere uma massa específica de 2,7 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}.

Passo 1

O enunciado pede (a) a densidade de elétrons livres em um metal (alumínio) à temperatura ambiente e (b) quantos elétrons livres há em média por átomo de alumínio. Para isso vamos tratar o alumínio como gás de elétrons livres com Z=3 elétrons de condução por átomo e usar a massa específica e a massa molar.

Passo 2

Calcular o número de átomos de alumínio por metro cúbico usando
n_{\text{átomos}} = \frac{\rho}{M_m}\,N_Aá
Em que \rho = 2{,}7\,\mathrm{g/cm}^3 = 2{,}7\times10^3\,\mathrm{kg/m}^3, M_m = 27\times10^{-3}\,\mathrm{kg/mol}, N_A = 6{,}02\times10^{23}\,\mathrm{mol}^{-1}.
Logo,
n_{\text{átomos}} = \frac{2{,}7\times10^3}{27\times10^{-3}}\times6{,}02\times10^{23} = 1{,}0\times10^{5}\times6{,}02\times10^{23} = 6{,}02\times10^{28}\,\text{átomos/m}^3.áá

Passo 3

Cada átomo fornece Z=3 elétrons livres, então a densidade de elétrons é
n_e = Z\,n_{\text{átomos}} = 3 \times 6{,}02\times10^{28} = 1{,}81\times10^{29}\,\text{elétrons/m}^3.áé

Passo 4

O número de elétrons livres por átomo é simplesmente
\frac{n_e}{n_{\text{átomos}}} = \frac{1{,}81\times10^{29}}{6{,}02\times10^{28}} \approx 3,á
que confirma Z=3.

Resposta

(a) n_e \approx 1{,}8\times10^{29}\,\text{elétrons/m}^3é
(b) cerca de 3 elétrons livres por átomo de alumínio.

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