(18.40) Estime a condutividade elétrica a 135^{\circ} \mathrm{C} para o silício que foi dopado com 10^{24} \mathrm{m}^{-3} átomos de alumínio.
\mathrm{R}: 1120(\Omega \cdot \mathrm{~m})^{-1}

Passo 1

O enunciado pede: estimar a condutividade elétrica do silício dopado com átomos de alumínio na concentração 10^{24}\\ \mathrm{m^{-3}} à temperatura 135^\circ\mathrm{C}.
Informações dadas:
  • Concentração de impurezas (aceitadoras, pois Al é aceitador): \;N_A=10^{24}\\ \mathrm{m^{-3}}.
  • Temperatura dada em graus Celsius: 135^\circ\mathrm{C}.
O que precisamos calcular (objetivo):
  • A condutividade elétrica \sigma do material a essa temperatura.

Passo 2

Converter a temperatura para Kelvin (porque fórmulas físicas usam Kelvin):
T = 135^\circ\mathrm{C} + 273{,}15 = 408{,}15\\ \mathrm{K}\approx 408\\ \mathrm{K}.

Passo 3

Decidir se o semicondutor está em região extrínseca (portadores majoritários dados pelo dopante) ou intrínseca. Para isso comparamos a concentração intrínseca \,n_i(T)\, com N_A.
Breve aula: a concentração intrínseca \,n_i(T)\, pode ser estimada por
n_i(T)=\sqrt{N_c(T)N_v(T)}\;\exp\!\Big(-\dfrac{E_g(T)}{2kT}\Big),
onde N_c e N_v são as densidades efetivas de estados na banda de condução e valência (que crescem como T^{3/2}), E_g(T) é a largura de banda dependente da temperatura, k é a constante de Boltzmann (em eV/K quando E_g está em eV) e T em K.
Valores típicos para silício (usados aqui como aproximação padrão):
N_{c0}\approx 2{,}8\times10^{25}\\ \mathrm{m^{-3}},\qquad N_{v0}\approx 1{,}04\times10^{25}\\ \mathrm{m^{-3}}
avaliados em 300\\ \mathrm{K}. Então
\sqrt{N_{c0}N_{v0}}\approx 1{,}706\times10^{25}\\ \mathrm{m^{-3}}.
A dependência com T é (T/300)^{3/2}; para T=408\\ \mathrm{K} o fator é
\Big(\dfrac{408}{300}\Big)^{3/2}\approx 1{,}586.
Logo o prefator é aproximadamente
\sqrt{N_cN_v}\approx 1{,}706\times10^{25}\cdot 1{,}586 \approx 2{,}705\times10^{25}\\ \mathrm{m^{-3}}.
Agora a largura de banda E_g(T). Usarei a fórmula de Varshni (parâmetros típicos para Si):
E_g(T)=E_g(0)-\dfrac{\alpha T^2}{T+\beta},
com E_g(0)\approx 1{,}166\\ \mathrm{eV},\\ \alpha=4{,}73\times10^{-4}\\ \mathrm{eV/K},\\ \beta=636\\ \mathrm{K}.
Para T=408\\ \mathrm{K}:
E_g(408)\approx 1{,}166 - \dfrac{4{,}73\times10^{-4}\cdot 408^2}{408+636} \approx 1{,}166 - 0{,}0754 \approx 1{,}0906\\ \mathrm{eV}.
Constante de Boltzmann em eV/K: k\approx 8{,}617\times10^{-5}\\ \mathrm{eV/K}. Então
kT \approx 8{,}617\times10^{-5}\cdot 408 \approx 0{,}03515\\ \mathrm{eV}.
O expoente fica
\frac{E_g}{2kT} \approx \frac{1{,}0906}{2\cdot0{,}03515}\approx 15{,}52, \qquad \exp(-15{,}52)\approx 1{,}82\times10^{-7}.
Portanto
n_i(408)\approx 2{,}705\times10^{25}\times 1{,}82\times10^{-7}\approx 4{,}93\times10^{18}\\ \mathrm{m^{-3}}.
Comparando com o dopante:
N_A=10^{24}\\ \mathrm{m^{-3}}\gg n_i(408)\approx 4{,}9\times10^{18}\\ \mathrm{m^{-3}}.
Conclusão didática: a concentração de impurezas é muito maior que n_i, portanto o material permanece extrínseco e a densidade de portadores majoritários (buracos, pois Al é aceitador) pode ser tomada aproximadamente como \;p\approx N_A.

Passo 4

Fórmula da condutividade e escolhas práticas:
A condutividade é dada por
\sigma = q\,(p\mu_p + n\mu_n).
Aqui q é a carga elementar, p e n são as concentrações de buracos e elétrons, e \mu_p,\mu_n as mobilidades. Como p\gg n (material fortemente p-type), podemos aproximar
\sigma \approx q\,p\,\mu_p.
Precisamos então de uma estimativa para a mobilidade de buracos \mu_p na concentração N_A=10^{24}\\ \mathrm{m^{-3}} e T=408\\ \mathrm{K}.
Aula curta sobre mobilidade:
  • A mobilidade depende de impurezas (espalhamento por íons) e da temperatura (espalhamento por fônons). Para concentrações altas a mobilidade diminui bastante.
  • Uma prática comum é tomar um valor típico de \mu_p à temperatura de referência 300\\ \mathrm{K} para a dada dopagem e depois escalá-lo com a temperatura com uma lei empírica \mu\propto T^{-\gamma} (exponente \gamma entre 2 e 2{,}5 para espalhamento por fônons dominante).
Valor razoável de referência: para silício p-type com N_A\approx10^{18}\\ \mathrm{cm^{-3}} (note que 10^{24}\\ \mathrm{m^{-3}}=10^{18}\\ \mathrm{cm^{-3}}), uma mobilidade típica em 300\\ \mathrm{K} é da ordem de \mu_p(300\\ \mathrm{K})\approx 150\\ \mathrm{cm^2/(V\cdot s)}. Isso é um valor padrão de tabela para concentrações desta ordem (pode variar, mas é um valor de trabalho aceitável para estimativa).
Convertendo para SI:
\mu_p(300)\approx 150\\ \mathrm{cm^2/Vs}=0{,}015\\ \mathrm{m^2/Vs}.
Agora escalo para T=408\\ \mathrm{K} com um expoente empírico \gamma=2{,}5 (motivo: espalhamento fônico forte e aproximação conveniente para a estimativa):
\mu_p(408)=\mu_p(300)\Big(\dfrac{408}{300}\Big)^{-\!2{,}5}.
Calcule o fator:
\Big(\dfrac{408}{300}\Big)^{-\!2{,}5}=(1{,}36)^{-2{,}5}\approx e^{-2{,}5\ln(1{,}36)}\approx e^{-0{,}768}\approx 0{,}464.
Assim
\mu_p(408)\approx 0{,}015\cdot 0{,}464 \approx 6{,}96\times10^{-3}\\ \mathrm{m^2/Vs}.
Em unidades mais usuais: \mu_p(408)\approx 69{,}6\\ \mathrm{cm^2/(V\cdot s)}.
Comentário amigável: sim, a mobilidade caiu bastante ao aquecer — é esperado porque fônons atrapalham o movimento dos portadores.

Passo 5

Calcular a condutividade com \sigma \approx q p \mu_p.
Valores numéricos:
q = 1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{C},\qquad p\approx N_A=10^{24}\\ \mathrm{m^{-3}},\qquad \mu_p(408)\approx 6{,}96\times10^{-3}\\ \mathrm{m^2/Vs}.
Portanto
\sigma \approx (1{,}602\times10^{-19})\cdot(10^{24})\cdot(6{,}96\times10^{-3}).
Calcule passo a passo:
q\cdot p = 1{,}602\times10^{-19}\times10^{24}=1{,}602\times10^{5}=1{,}602\times10^{5}\\ \mathrm{A\cdot s/m^3}.
Multiplicando pela mobilidade:
\sigma \approx 1{,}602\times10^{5}\times 6{,}96\times10^{-3} =1{,}602\times 6{,}96 \times10^{2} \approx 11{,}159 \times10^{2} \approx 1{,}1159\times10^{3}\\ \mathrm{(\Omega\cdot m)^{-1}}.
Arredondando de forma coerente:
\sigma \approx 1{,}12\times10^{3}\\ \mathrm{(\Omega\cdot m)^{-1}} \approx 1120\\ \mathrm{(\Omega\cdot m)^{-1}}.

Resposta

1120\\ (\Omega\cdot\mathrm{m})^{-1}

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