(18.40) Estime a condutividade elétrica a
para o silício que foi dopado com
átomos de alumínio.
Passo 1
O enunciado pede: estimar a condutividade elétrica do silício dopado com átomos de alumínio na concentração
à temperatura
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Concentração de impurezas (aceitadoras, pois Al é aceitador):
. - Temperatura dada em graus Celsius:
.
O que precisamos calcular (objetivo):
- A condutividade elétrica
do material a essa temperatura.
Passo 2
Converter a temperatura para Kelvin (porque fórmulas físicas usam Kelvin):
Passo 3
Decidir se o semicondutor está em região extrínseca (portadores majoritários dados pelo dopante) ou intrínseca. Para isso comparamos a concentração intrínseca
com
.
Breve aula: a concentração intrínseca
pode ser estimada por
onde
e
são as densidades efetivas de estados na banda de condução e valência (que crescem como
),
é a largura de banda dependente da temperatura,
é a constante de Boltzmann (em eV/K quando
está em eV) e
em K.
Valores típicos para silício (usados aqui como aproximação padrão):
avaliados em
. Então
A dependência com
é
; para
o fator é
Logo o prefator é aproximadamente
Agora a largura de banda
. Usarei a fórmula de Varshni (parâmetros típicos para Si):
com
.
Para :
Para
Constante de Boltzmann em eV/K:
. Então
O expoente fica
Portanto
Comparando com o dopante:
Conclusão didática: a concentração de impurezas é muito maior que
, portanto o material permanece extrínseco e a densidade de portadores majoritários (buracos, pois Al é aceitador) pode ser tomada aproximadamente como
.
Passo 4
Fórmula da condutividade e escolhas práticas:
A condutividade é dada por
A condutividade é dada por
Aqui
é a carga elementar,
e
são as concentrações de buracos e elétrons, e
as mobilidades. Como
(material fortemente p-type), podemos aproximar
Precisamos então de uma estimativa para a mobilidade de buracos
na concentração
e
.
Aula curta sobre mobilidade:
- A mobilidade depende de impurezas (espalhamento por íons) e da temperatura (espalhamento por fônons). Para concentrações altas a mobilidade diminui bastante.
- Uma prática comum é tomar um valor típico de
à temperatura de referência para a dada dopagem e depois escalá-lo com a temperatura com uma lei empírica (exponente entre e para espalhamento por fônons dominante).
Valor razoável de referência: para silício p-type com
(note que
), uma mobilidade típica em
é da ordem de
. Isso é um valor padrão de tabela para concentrações desta ordem (pode variar, mas é um valor de trabalho aceitável para estimativa).
Convertendo para SI:
Agora escalo para
com um expoente empírico
(motivo: espalhamento fônico forte e aproximação conveniente para a estimativa):
Calcule o fator:
Assim
Em unidades mais usuais:
.
Comentário amigável: sim, a mobilidade caiu bastante ao aquecer — é esperado porque fônons atrapalham o movimento dos portadores.
Passo 5
Calcular a condutividade com
.
Valores numéricos:
Portanto
Calcule passo a passo:
Multiplicando pela mobilidade:
Arredondando de forma coerente: