(ex. 2.9) Um pedaço de silício é dopado com arsênio onde N_{D}=10^{17} \mathrm{~cm}^{-3}. A peça tem 100 \mu \mathrm{~m} de comprimento, 10 \mu \mathrm{~m} de largura e 1 \mu \mathrm{~m} de espessura. Calcule a resistência elétrica desta amostra quando medida ao longo do comprimento.
A mobilidade dos elétrons no silício dopado com arsênio é 727 \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{V} . \mathrm{s}.
\mathrm{R}: 8,6 \mathrm{k} \Omega

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados (peguei todos estes valores do enunciado):
  • Densidade de dopantes (concentração de elétrons, assumindo ionização completa): N_{D}=10^{17}\\ \mathrm{cm}^{-3}.
  • Mobilidade dos elétrons: \mu_{n}=727\\ \mathrm{cm^{2}/V\cdot s}.
  • Dimensões da amostra:
    • comprimento (direção da medição): L=100\\ \mu\mathrm{m}.
    • largura: w=10\\ \mu\mathrm{m}.
    • espessura: t=1\\ \mu\mathrm{m}.
O que a questão pede:
  • Calcular a resistência elétrica da amostra medida ao longo do comprimento, ou seja a resistência entre as faces separadas por L.

Passo 2

Idéia geral e fórmulas que vamos usar (passo-a-passo bem didático):
  • Em semicondutores dopados do tipo n, a condutividade elétrica \sigma (unidade S/m) é dada, aproximando que todos os doadores estão ionizados e que apenas elétrons contribuem, por
\sigma = q\,n\,\mu_{n},
onde:
  • q é a carga elementar ( q=1,602\times10^{-19}\\ \mathrm{C}),
  • n é a concentração de elétrons (em \mathrm{m^{-3}} no SI),
  • \mu_{n} é a mobilidade dos elétrons (em \mathrm{m^{2}/V\cdot s} no SI).
  • A resistividade é o inverso da condutividade:
\rho = \frac{1}{\sigma}.
  • A resistência de um corpo de comprimento L e área da seção transversal A é
R = \rho\,\frac{L}{A}.
Vou explicar cada variável: \sigma mede quão bem o material conduz corrente; \mu_{n} relaciona a velocidade de deriva dos elétrons com o campo elétrico; n é quantos elétrons por volume estão disponíveis; \rho é a “resistência por unidade de comprimento/área”; e R é o que queremos medir entre as duas faces separadas por L.

Passo 3

Converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI) antes de calcular:
  • Concentração: 1\\ \mathrm{cm^{-3}} = 10^{6}\\ \mathrm{m^{-3}}. Então
n = N_{D}=10^{17}\\ \mathrm{cm^{-3}} = 10^{17}\times10^{6}\\ \mathrm{m^{-3}} = 10^{23}\\ \mathrm{m^{-3}}.
  • Mobilidade: 1\\ \mathrm{cm^{2}/V\cdot s} = 10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}/V\cdot s}. Então
\mu_{n}=727\\ \mathrm{cm^{2}/V\cdot s} = 727\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}/V\cdot s} = 0,0727\\ \mathrm{m^{2}/V\cdot s}.
  • Dimensões:
    • L=100\\ \mu\mathrm{m}=100\times10^{-6}\\ \mathrm{m}=1\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
    • w=10\\ \mu\mathrm{m}=10\times10^{-6}\\ \mathrm{m}=1\times10^{-5}\\ \mathrm{m}.
    • t=1\\ \mu\mathrm{m}=1\times10^{-6}\\ \mathrm{m}=1\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular a condutividade \sigma usando \sigma = q n \mu_{n}. Substituindo os valores convertidos:
\sigma = (1,602\times10^{-19}\\ \mathrm{C})\cdot(10^{23}\\ \mathrm{m^{-3}})\cdot(0,0727\\ \mathrm{m^{2}/V\cdot s}).
Calcule a parte numérica em etapas:
(1,602\times10^{-19})\cdot(10^{23}) = 1,602\times10^{4} = 16020,
16020\times0,0727 = 1164,654.
Portanto
\sigma \approx 1164,654\\ \mathrm{S/m}.
(Interpretando: uma condutividade de cerca de 1{,}16\times10^{3}\\ \mathrm{S/m}.)

Passo 5

Calcular a resistividade \rho = 1/\sigma:
\rho = \frac{1}{1164,654\\ \mathrm{S/m}} \approx 8,583\times10^{-4}\\ \mathrm{\Omega\cdot m}.

Passo 6

Calcular a área da seção transversal A. Para corrente ao longo do comprimento, a seção é largura vezes espessura:
A = w\cdot t = (1\times10^{-5}\\ \mathrm{m})\cdot(1\times10^{-6}\\ \mathrm{m}) = 1\times10^{-11}\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 7

Calcular a resistência usando R=\rho\,\dfrac{L}{A}:
R = (8,583\times10^{-4}\\ \mathrm{\Omega\cdot m})\cdot\frac{1\times10^{-4}\\ \mathrm{m}}{1\times10^{-11}\\ \mathrm{m^{2}}}.
Simplificando o fator de comprimento/área:
\frac{1\times10^{-4}}{1\times10^{-11}} = 1\times10^{7}.
Logo
R = 8,583\times10^{-4}\times10^{7}\\ \mathrm{\Omega} = 8,583\times10^{3}\\ \mathrm{\Omega}.
Arredondando de forma compatível com os dados fornecidos,
R \approx 8,6\times10^{3}\\ \mathrm{\Omega} = 8,6\\ \mathrm{k}\Omega.

Passo 8

Resumo rápido e encorajamento: chegamos ao valor pedido aplicando a relação básica \sigma = q n \mu, cuidando das conversões de unidades (essencial!) e depois usando R=\rho L/A. Dá um frio na barriga mas é só seguir as etapas com calma — você já aprendeu a receita e pode aplicar a mesma lógica para qualquer outro dopante ou geometria semelhante. Vai dar certo na prova!

Resposta

8,6\\ \mathrm{k}\Omega

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