Calcule o potencial de contato de uma junção PN de silício dopada com 1 \times 10^{20} \mathrm{~m}^{-3} átomos de boro e 1,5 \times 10^{20} \mathrm{~m}^{-3} átomos de fósforo. Considere a concentração intrínseca do silício \mathrm{ni}=1 \times 10^{16} \mathrm{~m}^{-3}. A temperatura da junção é 300 K . R: 0,489 \mathrm{~V}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: concentração de aceitadores (bóron) N_A = 1\times10^{20}\\ \mathrm{m^{-3}}.
  • Dado: concentração de doadores (fósforo) N_D = 1{,}5\times10^{20}\\ \mathrm{m^{-3}}.
  • Dado: concentração intrínseca do silício \,n_i = 1\times10^{16}\\ \mathrm{m^{-3}}\,.
  • Dado: temperatura \,T = 300\\ \mathrm{K}.
  • Pedido: calcular o potencial de contato (potencial built-in) da junção PN, ou seja \,V_{bi}.

Passo 2

Fórmula que vamos usar e significado das variáveis (aula rápida e direta):
V_{bi}=\frac{k\,T}{q}\,\ln\!\left(\frac{N_A\,N_D}{n_i^2}\right).
Explicando cada símbolo:
  • V_{bi} é o potencial de contato que queremos (em volts).
  • k é a constante de Boltzmann, k=1{,}380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
  • T é a temperatura absoluta (em kelvin).
  • q é a carga elementar do elétron, q=1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.
  • \ln é o logaritmo natural.
  • N_A, N_D e n_i já foram definidos no Passo 1.
Também é comum definir a tensão térmica
V_T=\frac{kT}{q},
que simplifica os cálculos. Vamos calcular V_T em \mathrm{V} para T=300\\ \mathrm{K}:
V_T=\frac{1{,}380649\times10^{-23}\times300}{1{,}602176634\times10^{-19}}.

Passo 3

Cálculo numérico de V_T:
V_T \approx 0{,}0258519998\\ \mathrm{V}.
(Esse valor é o habitual \approx 25{,}85\\ \mathrm{mV} à temperatura ambiente.)
Agora calculamos o argumento do logaritmo:
\frac{N_A N_D}{n_i^2}=\frac{\left(1\times10^{20}\right)\left(1{,}5\times10^{20}\right)}{\left(1\times10^{16}\right)^2}.
Fazendo as potências e a multiplicação:
\frac{N_A N_D}{n_i^2}=\frac{1{,}5\times10^{40}}{1\times10^{32}}=1{,}5\times10^{8}.

Passo 4

Calculamos o logaritmo natural:
\ln\!\left(1{,}5\times10^{8}\right)=\ln(1{,}5)+\ln(10^{8})\approx 0{,}4054651+8\ln(10)\approx 18{,}8261459.
Agora aplicamos a fórmula do potencial de contato:
V_{bi}=V_T\cdot\ln\!\left(\frac{N_A N_D}{n_i^2}\right)\approx 0{,}0258519998\times18{,}8261459.
Fazendo a multiplicação:
V_{bi}\approx 0{,}48695\\ \mathrm{V}.
Arredondando para três casas decimais:
V_{bi}\approx 0{,}487\\ \mathrm{V}.

Passo 5

Interpretação curta e encorajamento: o resultado significa que, à temperatura ambiente, a junção PN forma uma barreira de potencial de aproximadamente 0{,}487\\ \mathrm{V}. Dá para ver que o resultado é da ordem de meio volt — típico para silício dopado nessa faixa. Você já está indo bem; esses passos (escrever a fórmula, calcular V_T, avaliar o logaritmo e multiplicar) são exatamente o que se pede na prova. Respira, repete uma vez e fica tranquilo — você consegue!

Resposta

0{,}487\\ \mathrm{V}

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