18.65 • Uma caixa lacrada contém um gás ideal monoatômico. O número de átomos do gás por volume unitário é 5,00 \times 10^{20} átomos / \mathrm{cm}^{3}, e a energia cinética translacional média de cada átomo é 1,80 \times 10^{-23} \mathrm{~J}. (a) Qual é a pressão do gás? (b) Se o gás é o neônio (massa molar igual a 20,18 \mathrm{~g} / \mathrm{mol} ), qual é a v_{\mathrm{rmq}} para os átomos do gás?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (colocados aqui precisamente para eu não me confundir):
  • Densidade numérica (número de átomos por volume): n=5{,}00\times10^{20}\\ \text{átomos}/\mathrm{cm}^{3}á.
  • Energia cinética translacional média de cada átomo: \langle E_{\text{cin}}\rangle = 1{,}80\times10^{-23}\\ \mathrm{J}.
  • O gás é monoatômico e, na parte (b), é o neônio com massa molar M=20{,}18\\ \mathrm{g/mol}.
O que o problema pede:
(a) Calcular a pressão do gás.
(b) Para o neônio, calcular a velocidade quadrática média v_{\mathrm{rmq}} (ou v_rms) dos átomos.

Passo 2

Ideia física e fórmula que vou usar para a pressão: na teoria cinética dos gases há uma relação direta entre a energia cinética média por partícula e a pressão. Para um gás ideal monoatômico relaciona-se
p=\frac{2}{3}\,n\,\langle E_{\text{cin}}\rangle,
onde
  • p é a pressão,
  • n é a densidade numérica (número de partículas por unidade de volume),
  • \langle E_{\text{cin}}\rangle é a energia cinética translacional média por partícula.
Explicação curta do porquê: cada partícula colide com as paredes transferindo momento; ao somar as contribuições de muitas partículas e fazer as médias, surge o fator \tfrac{2}{3} ligado às três direções do espaço. Não precisa decorar sem entender: pense que metade da energia aparece na relação com a pressão após realizar o cálculo do fluxo de momento.
Vou usar essa fórmula direta para (a).

Passo 3

Conversão de unidades e cálculo da pressão.
Primeiro converter n de \mathrm{cm}^{-3} para \mathrm{m}^{-3}. Como 1\\ \mathrm{cm}^{3}=10^{-6}\\ \mathrm{m}^{3}, multiplicamos por 10^{6}:
n = 5{,}00\times10^{20}\\ \mathrm{cm}^{-3} = 5{,}00\times10^{20}\times10^{6}\\ \mathrm{m}^{-3} = 5{,}00\times10^{26}\\ \mathrm{m}^{-3}.
Agora aplico a fórmula
p=\frac{2}{3}\,n\,\langle E_{\text{cin}}\rangle.
Substituindo os números:
p=\frac{2}{3}\times\bigl(5{,}00\times10^{26}\bigr)\times\bigl(1{,}80\times10^{-23}\\ \mathrm{J}\bigr).
Faço as contas passo a passo:
5{,}00\times10^{26}\times1{,}80\times10^{-23} = (5{,}00\times1{,}80)\times10^{26-23} = 9{,}00\times10^{3}=9{,}00\times10^{3}.
Agora o fator \tfrac{2}{3}:
p=\frac{2}{3}\times9{,}00\times10^{3} = 6{,}00\times10^{3}\\ \mathrm{Pa}.
Portanto a pressão é 6{,}00\times10^{3}\\ \mathrm{Pa} (três algarismos significativos, coerente com os dados).

Passo 4

Relação entre energia média e velocidade quadrática média (v_rms). Para uma partícula de massa m,
\langle E_{\text{cin}}\rangle = \frac{1}{2}\,m\,\langle v^{2}\rangle,
onde \langle v^{2}\rangle é a média do quadrado da velocidade; define-se v_{\mathrm{rmq}}=\sqrt{\langle v^{2}\rangle}. Assim,
v_{\mathrm{rmq}}=\sqrt{\frac{2\,\langle E_{\text{cin}}\rangle}{m}}.
Vou usar essa forma porque já tenho \langle E_{\text{cin}}\rangle e preciso apenas da massa de um átomo.

Passo 5

Calcular a massa de um átomo de neônio e então v_{\mathrm{rmq}}.
Converter massa molar para kg por átomo:
M = 20{,}18\\ \mathrm{g/mol}=0{,}02018\\ \mathrm{kg/mol}.
A massa de uma única partícula é m = \dfrac{M}{N_A}, com N_A=6{,}02214076\times10^{23}\\ \mathrm{mol}^{-1}. Assim
m=\frac{0{,}02018}{6{,}02214076\times10^{23}}\\ \mathrm{kg}\approx 3{,}35097\times10^{-26}\\ \mathrm{kg}.
(outra forma equivalente seria usar 1\\ \mathrm{u}=1{,}660539\times10^{-27}\\ \mathrm{kg} e multiplicar por 20{,}18.)
Agora uso a fórmula para v_{\mathrm{rmq}}:
v_{\mathrm{rmq}}=\sqrt{\frac{2\,\langle E_{\text{cin}}\rangle}{m}} =\sqrt{\frac{2\times1{,}80\times10^{-23}}{3{,}35097\times10^{-26}}}.
Faço a divisão dentro da raiz:
\frac{2\times1{,}80\times10^{-23}}{3{,}35097\times10^{-26}} =\frac{3{,}60\times10^{-23}}{3{,}35097\times10^{-26}} \approx 1{,}074\times10^{3}.
Tomando a raiz quadrada:
v_{\mathrm{rmq}}\approx\sqrt{1{,}074\times10^{3}}\approx 3{,}28\times10^{1}\\ \mathrm{m/s}=32{,}8\\ \mathrm{m/s}.
Observação de interpretação: esse valor é relativamente baixo porque a energia média dada corresponde a uma temperatura muito baixa (da ordem de 1\\ \mathrm{K}); não é um erro — são os números do enunciado.

Resposta

(a) p=6{,}00\times10^{3}\\ \mathrm{Pa}
(b) v_{\mathrm{rmq}}=3{,}28\times10^{1}\\ \mathrm{m/s}

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