18.65 • Uma caixa lacrada contém um gás ideal monoatômico. O número de átomos do gás por volume unitário é 5,00
átomos
, e a energia cinética translacional média de cada átomo é
. (a) Qual é a pressão do gás? (b) Se o gás é o neônio (massa molar igual a
), qual é a
para os átomos do gás?
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados (colocados aqui precisamente para eu não me confundir):
- Densidade numérica (número de átomos por volume):
. - Energia cinética translacional média de cada átomo:
. - O gás é monoatômico e, na parte (b), é o neônio com massa molar
.
O que o problema pede:
(a) Calcular a pressão do gás.
(b) Para o neônio, calcular a velocidade quadrática média (ou v_rms) dos átomos.
(a) Calcular a pressão do gás.
(b) Para o neônio, calcular a velocidade quadrática média
Passo 2
Ideia física e fórmula que vou usar para a pressão: na teoria cinética dos gases há uma relação direta entre a energia cinética média por partícula e a pressão. Para um gás ideal monoatômico relaciona-se
onde
-
é a pressão, -
é a densidade numérica (número de partículas por unidade de volume), -
é a energia cinética translacional média por partícula.
Explicação curta do porquê: cada partícula colide com as paredes transferindo momento; ao somar as contribuições de muitas partículas e fazer as médias, surge o fator
ligado às três direções do espaço. Não precisa decorar sem entender: pense que metade da energia aparece na relação com a pressão após realizar o cálculo do fluxo de momento.
Vou usar essa fórmula direta para (a).
Passo 3
Conversão de unidades e cálculo da pressão.
Primeiro converter
de
para
. Como
, multiplicamos por
:
Agora aplico a fórmula
Substituindo os números:
Faço as contas passo a passo:
Agora o fator
:
Portanto a pressão é
(três algarismos significativos, coerente com os dados).
Passo 4
Relação entre energia média e velocidade quadrática média (v_rms). Para uma partícula de massa
,
onde
é a média do quadrado da velocidade; define-se
. Assim,
Vou usar essa forma porque já tenho
e preciso apenas da massa de um átomo.
Passo 5
Calcular a massa de um átomo de neônio e então
.
Converter massa molar para kg por átomo:
A massa de uma única partícula é
, com
. Assim
(outra forma equivalente seria usar
e multiplicar por
.)
Agora uso a fórmula para
:
Faço a divisão dentro da raiz:
Tomando a raiz quadrada:
Observação de interpretação: esse valor é relativamente baixo porque a energia média dada corresponde a uma temperatura muito baixa (da ordem de
); não é um erro — são os números do enunciado.
Resposta
(a)
(b)
(b)