18 Aplicação do Método de Cauchy-Euler. Resolva as EDOs:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
Informações dadas:
- A equação é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes que são potências de
(termo em , termo em , termo independente). - A tarefa é encontrar a família de soluções gerais
.
Observação importante: como na técnica que vamos usar aparece, a derivação padrão assume . Mais adiante comento como estender para .
Passo 2
Qual é o método a aplicar e por quê. Esta equação é do tipo Cauchy–Euler (também chamada equação de Euler). A ideia típica é tentar uma solução do tipo potência:
onde
é um número (possivelmente complexo) a determinar. Vou explicar por que esta tentativa funciona: para uma equação de Euler os coeficientes têm a mesma estrutura de potências de
que casam com as derivadas de
, permitindo reduzir a EDO a uma equação algébrica para
.
Agora calculemos as derivadas de
. Usando regras básicas de derivação:
Passo 3
Substituir
,
e
na equação original:
Simplificando cada termo (fator comum
não nulo para
):
Dividindo por
(válido para
) obtemos a equação característica em
:
Agora expandir e simplificar:
Passo 4
Resolver a equação quadrática
. Usando a fórmula de Bhaskara:
Escrever a raiz imaginária explicitando
:
Portanto as raízes são complexas conjugadas
com
Passo 5
Interpretação das raízes complexas para equação de Euler. Quando as raízes são
, as duas soluções independentes associadas são as partes real e imaginária de
. Como
a combinação real geral dá a solução real geral:
onde
são constantes reais arbitrárias. Aqui
e
.
Passo 6
Escrevendo a solução geral do nosso problema com os valores de
e
:
válida para
. Se for necessário permitir
, pode-se escrever a solução em termos de
e
:
lembrando que para
a função
pode envolver fatores de fase complexa se
não for inteiro; a forma com
é a forma real mais direta de extensão.