18 Aplicação do Método de Cauchy-Euler. Resolva as EDOs:
x^{2} y^{\prime \prime}+3 x y^{\prime}+3 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
x^{2}y''+3x y'+3y=0.
Informações dadas:
  • A equação é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes que são potências de x (termo em x^{2}, termo em x, termo independente).
  • A tarefa é encontrar a família de soluções gerais y(x).
    Observação importante: como na técnica que vamos usar aparece \ln x, a derivação padrão assume x>0. Mais adiante comento como estender para x<0.

Passo 2

Qual é o método a aplicar e por quê. Esta equação é do tipo Cauchy–Euler (também chamada equação de Euler). A ideia típica é tentar uma solução do tipo potência:
y(x)=x^{r},
onde r é um número (possivelmente complexo) a determinar. Vou explicar por que esta tentativa funciona: para uma equação de Euler os coeficientes têm a mesma estrutura de potências de x que casam com as derivadas de x^{r}, permitindo reduzir a EDO a uma equação algébrica para r.
Agora calculemos as derivadas de y(x)=x^{r}. Usando regras básicas de derivação:
y'(x)=r x^{r-1}, \qquad y''(x)=r(r-1)x^{r-2}.

Passo 3

Substituir y, y' e y'' na equação original:
x^{2}\big(r(r-1)x^{r-2}\big)+3x\big(r x^{r-1}\big)+3\big(x^{r}\big)=0.
Simplificando cada termo (fator comum x^{r} não nulo para x\neq0):
r(r-1)x^{r}+3r x^{r}+3 x^{r}=0.
Dividindo por x^{r} (válido para x\neq0) obtemos a equação característica em r:
r(r-1)+3r+3=0.
Agora expandir e simplificar:
r^{2}-r+3r+3=r^{2}+2r+3=0.

Passo 4

Resolver a equação quadrática r^{2}+2r+3=0. Usando a fórmula de Bhaskara:
r=\frac{-2\pm\sqrt{2^{2}-4\cdot1\cdot3}}{2}=\frac{-2\pm\sqrt{4-12}}{2}=\frac{-2\pm\sqrt{-8}}{2}.
Escrever a raiz imaginária explicitando \sqrt{-8}=2\mathrm{i}\sqrt{2}:
r=\frac{-2\pm 2\mathrm{i}\sqrt{2}}{2}=-1\pm \mathrm{i}\sqrt{2}.
Portanto as raízes são complexas conjugadas r=\alpha\pm \mathrm{i}\beta com
\alpha=-1,\qquad \beta=\sqrt{2}.

Passo 5

Interpretação das raízes complexas para equação de Euler. Quando as raízes são r=\alpha\pm \mathrm{i}\beta, as duas soluções independentes associadas são as partes real e imaginária de x^{r}. Como
x^{\alpha+\mathrm{i}\beta}=x^{\alpha}x^{\mathrm{i}\beta}=x^{\alpha}e^{\mathrm{i}\beta\ln x}=x^{\alpha}\big(\cos(\beta\ln x)+\mathrm{i}\sin(\beta\ln x)\big),
a combinação real geral dá a solução real geral:
y(x)=x^{\alpha}\big(C_{1}\cos(\beta\ln x)+C_{2}\sin(\beta\ln x)\big),
onde C_{1},C_{2} são constantes reais arbitrárias. Aqui \alpha=-1 e \beta=\sqrt{2}.

Passo 6

Escrevendo a solução geral do nosso problema com os valores de \alpha e \beta:
y(x)=x^{-1}\big(C_{1}\cos\big(\sqrt{2}\,\ln x\big)+C_{2}\sin\big(\sqrt{2}\,\ln x\big)\big),
válida para x>0. Se for necessário permitir x<0, pode-se escrever a solução em termos de \ln|x| e |x|^{-1}:
y(x)=|x|^{-1}\big(C_{1}\cos\big(\sqrt{2}\,\ln|x|\big)+C_{2}\sin\big(\sqrt{2}\,\ln|x|\big)\big),
lembrando que para x<0 a função x^{r} pode envolver fatores de fase complexa se r não for inteiro; a forma com |x| é a forma real mais direta de extensão.

Resposta

y(x)=x^{-1}\Big(C_{1}\cos\big(\sqrt{2}\,\ln x\big)+C_{2}\sin\big(\sqrt{2}\,\ln x\big)\Big)

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