- Convolução. Resolva as convoluções e inversas:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos de dado.
- Pede-se a transformada inversa de Laplace
- Informação útil imediata (pego do enunciado): o numerador é
e o denominador fatoriza como . - O objetivo final é encontrar uma função
tal que seja a expressão dada.
Passo 2
Lembrete das ferramentas que vou usar (aulas rápidas e intuitivas).
- A transformada de Laplace de
e são:
Aqui
e
é a variável da transformada; essas fórmulas são padrão e úteis porque temos fatores do tipo
no denominador.
- A transformada inversa é linear: se
e , então para constantes ,
- Dois caminhos possíveis para inverter a expressão: (i) usar teorema da convolução (escrever como produto de duas transformadas simples e fazer a convolução no tempo), ou (ii) decompor por frações parciais em termos de funções da forma
e aplicar inversa diretamente. Vou escolher o método (ii) porque aqui a forma do numerador sugere diretamente combinações de , o que torna a inversa direta e bem curta — isso é prático na prova.
Passo 3
Escolha da ansatz e montagem da decomposição em frações parciais.
Proponho escrever
onde
e
são constantes a determinar. Esta é uma escolha natural porque cada termo
tem inversa
.
Passo 4
Determinar [C) e
(resolução passo a passo, sem pular etapas).
Multiplico ambos os lados por
para eliminar denominadores:
Se
o termo esquerdo é zero; para
posso dividir por
, obtendo uma identidade polinomial:
Agrupando termos em
e constantes:
Como essa igualdade vale para todo
, os coeficientes dos termos polinomiais devem coincidir. Assim obtemos o sistema linear:
Da primeira equação (D = -C]. Substituo na segunda:
Logo
]
Logo
Passo 5
Aplicar transformada inversa a cada termo (a etapa de “ensinar a fórmula”).
Recordando:
. Usando linearidade,
Substituindo
e
e as inversas:
Posso fatorar
para ficar mais bonito: