1. Convolução. Resolva as convoluções e inversas:
    \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{2 s}{\left(s^{2}-4\right)\left(s^{2}-25\right)}\right\}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos de dado.
  • Pede-se a transformada inversa de Laplace
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{2 s}{\left(s^{2}-4\right)\left(s^{2}-25\right)}\right\}.
  • Informação útil imediata (pego do enunciado): o numerador é 2s e o denominador fatoriza como \left(s^{2}-4\right)\left(s^{2}-25\right)= (s-2)(s+2)(s-5)(s+5).
  • O objetivo final é encontrar uma função f(t) tal que \mathcal{L}\{f(t)\} seja a expressão dada.

Passo 2

Lembrete das ferramentas que vou usar (aulas rápidas e intuitivas).
  • A transformada de Laplace de \operatorname{cosh}(at) e \operatorname{sinh}(at) são:
\mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(at)\}=\frac{s}{s^{2}-a^{2}},\qquad \mathcal{L}\{\operatorname{sinh}(at)\}=\frac{a}{s^{2}-a^{2}}.
Aqui a>0 e s é a variável da transformada; essas fórmulas são padrão e úteis porque temos fatores do tipo s^{2}-a^{2} no denominador.
  • A transformada inversa é linear: se \mathcal{L}\{f\}=F e \mathcal{L}\{g\}=G, então para constantes A,B,
\mathcal{L}^{-1}\{A F + B G\} = A f + B g.
  • Dois caminhos possíveis para inverter a expressão: (i) usar teorema da convolução (escrever como produto de duas transformadas simples e fazer a convolução no tempo), ou (ii) decompor por frações parciais em termos de funções da forma \dfrac{s}{s^{2}-a^{2}} e aplicar inversa diretamente. Vou escolher o método (ii) porque aqui a forma do numerador sugere diretamente combinações de \dfrac{s}{s^{2}-a^{2}}, o que torna a inversa direta e bem curta — isso é prático na prova.

Passo 3

Escolha da ansatz e montagem da decomposição em frações parciais.
Proponho escrever
\frac{2s}{(s^{2}-4)(s^{2}-25)} = C\,\frac{s}{s^{2}-4} + D\,\frac{s}{s^{2}-25},
onde C e D são constantes a determinar. Esta é uma escolha natural porque cada termo \dfrac{s}{s^{2}-a^{2}} tem inversa \operatorname{cosh}(at).

Passo 4

Determinar [C) e D (resolução passo a passo, sem pular etapas).
Multiplico ambos os lados por (s^{2}-4)(s^{2}-25) para eliminar denominadores:
2s = C s (s^{2}-25) + D s (s^{2}-4).
Se s=0 o termo esquerdo é zero; para s\neq0 posso dividir por s, obtendo uma identidade polinomial:
2 = C (s^{2}-25) + D (s^{2}-4).
Agrupando termos em s^{2} e constantes:
2 = (C+D)s^{2} - (25C + 4D).
Como essa igualdade vale para todo s, os coeficientes dos termos polinomiais devem coincidir. Assim obtemos o sistema linear:
\begin{cases} C + D = 0,\\[4pt] -(25C + 4D) = 2. \end{cases}
Da primeira equação (D = -C]. Substituo na segunda:
-(25C + 4(-C)) = 2 \quad\Rightarrow\quad -(25C - 4C) = 2 \quad\Rightarrow\quad -21C = 2.
Logo
C = -\frac{2}{21},\qquad D = -C = \frac{2}{21}.]

Passo 5

Aplicar transformada inversa a cada termo (a etapa de “ensinar a fórmula”).
Recordando: \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{s}{s^{2}-a^{2}}\right\} = \operatorname{cosh}(at). Usando linearidade,
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{2s}{(s^{2}-4)(s^{2}-25)}\right\} = C\,\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s}{s^{2}-4}\right\} + D\,\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s}{s^{2}-25}\right\}.
Substituindo C e D e as inversas:
= -\frac{2}{21}\operatorname{cosh}(2t) + \frac{2}{21}\operatorname{cosh}(5t).
Posso fatorar \dfrac{2}{21} para ficar mais bonito:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{2s}{(s^{2}-4)(s^{2}-25)}\right\} = \frac{2}{21}\bigl(\operatorname{cosh}(5t)-\operatorname{cosh}(2t)\bigr).

Resposta

\displaystyle \frac{2}{21}\bigl(\operatorname{cosh}(5t)-\operatorname{cosh}(2t)\bigr)

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