1.18 Balanças analíticas são calibradas para darem o valor correto da massa para corpos, tal como para um corpo de aço de densidade
. A calibração compensa a força de empuxo que aparece, porque as medições são feitas no ar, de densidade
. Que compensação deve ser feita para medir as massas de corpos de um material diferente, de densidade
? A força de empuxo do ar importa?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
- Dado: densidade do padrão (corpo de aço usado na calibração)
. - Dado: densidade do ar
. - Dado: queremos medir um corpo de densidade
(essa é a densidade do material do corpo desconhecido). - Pergunta 1: Que compensação (correção) deve ser feita para obter a massa verdadeira desse corpo lendo a balança calibrada para
? - Pergunta 2: A força de empuxo do ar importa (isto é, devemos nos preocupar com ela)?
Listei os dados relevantes e as perguntas; a resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Conceito fundamental (Archimedes) — o que é empuxo e como calculá‑lo:
Quando um corpo de volume está imerso (mesmo que parcialmente) num fluido de densidade
, o fluido exerce sobre o corpo uma força vertical para cima chamada empuxo. A regra de Arquimedes diz que o empuxo vale o peso do fluido deslocado, ou seja
Quando um corpo de volume
onde
é o empuxo (em newtons),
é a densidade do ar (em
),
é o volume do corpo (em
) e
é a aceleração da gravidade (em
).
Isso significa: na balança, o que realmente “pesa” é o peso real menos esse empuxo.
Isso significa: na balança, o que realmente “pesa” é o peso real menos esse empuxo.
Passo 3
Expressar peso verdadeiro e peso aparente do corpo que queremos medir:
Se a massa verdadeira do corpo é , seu peso verdadeiro (no vácuo) é
Se a massa verdadeira do corpo é
O volume do corpo pode ser escrito em função da sua massa e densidade:
Substituindo na expressão do empuxo,
Portanto o peso aparente (o que a balança “sente”) é
Interpretação simples: a leitura da balança é proporcional a
.
Passo 4
Como a calibração com o padrão de aço entra na conta:
A balança foi calibrada com massas-padrão de aço de densidade . Para uma massa padrão de massa verdadeira
e volume
, o empuxo é
e o peso aparente do padrão é
A balança foi calibrada com massas-padrão de aço de densidade
A calibração faz com que, quando esse peso aparente é aplicado, a balança mostre exatamente
. Assim a balança traduz um peso aparente
em uma “massa lida”
segundo a relação linear
Isto é, a balança está escalada de modo que
corresponda a
.
Passo 5
Aplicar essa relação ao nosso corpo de densidade
e resolver para a massa verdadeira:
Usando a expressão de do Passo 3 na relação do Passo 4,
Usando a expressão de
Os
cancelam, ficando
Isolando a massa verdadeira
,
Essa é a fórmula de correção: multiplicamos a massa lida pela razão
para obter a massa verdadeira.
Passo 6
Interpretação física e verificação de casos-limite (ajuda a entender como usar a fórmula):
- Se
(o corpo tem a mesma densidade do padrão), então
logo
. Faz sentido: a calibração já compensa exatamente o empuxo para esse tipo de material.
- Se
(objeto com volume praticamente nulo, empuxo desprezível), então o fator tende a ; assim é um pouco menor que porque a balança foi calibrada assumindo que o padrão sofre um pequeno empuxo que o nosso objeto não sofre. - Se
é pequeno (materiais leves e volumosos), o denominador pode ser significativamente menor que , aumentando o fator de correção e fazendo com que a massa verdadeira seja maior (às vezes notavelmente) que a massa lida.
Passo 7
Estimativas numéricas rápidas para sentir a ordem de grandeza (útil na prova):
Usando e
:
Usando
- Para um objeto de água
:
e o fator é
ou seja,
— correção de cerca de
.
- Para um metal muito denso (risco
) o fator é , correção de cerca de . - Para um material leve (
) o fator fica aproximadamente (cerca de ).
Conclusão prática: para materiais densos (metais comuns) a correção é muito pequena, mas para materiais leves ou quando se exige alta precisão (analytical balance) a correção é relevante.
Passo 8
Resposta verbal curta à segunda pergunta: o empuxo do ar realmente importa quando a precisão requerida é comparável à ordem de grandeza da correção mostrada acima. Em medições grosseiras pode ser desprezado para metais, mas em balanças analíticas (alta precisão) ou para corpos pouco densos deve-se aplicar a correção.
Resposta
Sim. O empuxo do ar importa quando se busca precisão (a correção é pequena para metais densos, mas pode ser significativa para materiais pouco densos ou em balanças analíticas).