1.18 Balanças analíticas são calibradas para darem o valor correto da massa para corpos, tal como para um corpo de aço de densidade \rho_{s}=8.000,00 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. A calibração compensa a força de empuxo que aparece, porque as medições são feitas no ar, de densidade \rho_{\mathrm{a}}=1,205 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. Que compensação deve ser feita para medir as massas de corpos de um material diferente, de densidade \rho ? A força de empuxo do ar importa?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
  • Dado: densidade do padrão (corpo de aço usado na calibração) \rho_{s}=8000\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Dado: densidade do ar \rho_{a}=1,205\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Dado: queremos medir um corpo de densidade \rho (essa é a densidade do material do corpo desconhecido).
  • Pergunta 1: Que compensação (correção) deve ser feita para obter a massa verdadeira desse corpo lendo a balança calibrada para \rho_{s}?
  • Pergunta 2: A força de empuxo do ar importa (isto é, devemos nos preocupar com ela)?
Listei os dados relevantes e as perguntas; a resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Conceito fundamental (Archimedes) — o que é empuxo e como calculá‑lo:
Quando um corpo de volume V está imerso (mesmo que parcialmente) num fluido de densidade \rho_{a}, o fluido exerce sobre o corpo uma força vertical para cima chamada empuxo. A regra de Arquimedes diz que o empuxo vale o peso do fluido deslocado, ou seja
F_{b}=\rho_{a}\,V\,g,
onde F_{b} é o empuxo (em newtons), \rho_{a} é a densidade do ar (em \mathrm{kg/m^{3}}), V é o volume do corpo (em \mathrm{m^{3}}) e g é a aceleração da gravidade (em \mathrm{m/s^{2}}).
Isso significa: na balança, o que realmente “pesa” é o peso real menos esse empuxo.

Passo 3

Expressar peso verdadeiro e peso aparente do corpo que queremos medir:
Se a massa verdadeira do corpo é m, seu peso verdadeiro (no vácuo) é
W = m\,g.
O volume do corpo pode ser escrito em função da sua massa e densidade:
V=\frac{m}{\rho}.
Substituindo na expressão do empuxo,
F_{b}=\rho_{a}\,\frac{m}{\rho}\,g = m\,g\,\frac{\rho_{a}}{\rho}.
Portanto o peso aparente (o que a balança “sente”) é
W_{\text{app}} = W - F_{b} = m\,g - m\,g\,\frac{\rho_{a}}{\rho} = m\,g\left(1-\frac{\rho_{a}}{\rho}\right).
Interpretação simples: a leitura da balança é proporcional a W_{\text{app}}.

Passo 4

Como a calibração com o padrão de aço entra na conta:
A balança foi calibrada com massas-padrão de aço de densidade \rho_{s}. Para uma massa padrão de massa verdadeira m_{s} e volume V_{s}=m_{s}/\rho_{s}, o empuxo é \rho_{a}V_{s}g e o peso aparente do padrão é
W_{\text{app},s} = m_{s}g\left(1-\frac{\rho_{a}}{\rho_{s}}\right).
A calibração faz com que, quando esse peso aparente é aplicado, a balança mostre exatamente m_{s}. Assim a balança traduz um peso aparente W_{\text{app}} em uma “massa lida” m_{\text{lida}} segundo a relação linear
m_{\text{lida}}=\frac{W_{\text{app}}}{g\left(1-\dfrac{\rho_{a}}{\rho_{s}}\right)}.
Isto é, a balança está escalada de modo que W_{\text{app},s} corresponda a m_{s}.

Passo 5

Aplicar essa relação ao nosso corpo de densidade \rho e resolver para a massa verdadeira:
Usando a expressão de W_{\text{app}} do Passo 3 na relação do Passo 4,
m_{\text{lida}}=\frac{m\,g\left(1-\dfrac{\rho_{a}}{\rho}\right)}{g\left(1-\dfrac{\rho_{a}}{\rho_{s}}\right)}.
Os g cancelam, ficando
m_{\text{lida}}=m\;\frac{\,1-\dfrac{\rho_{a}}{\rho}\,}{\,1-\dfrac{\rho_{a}}{\rho_{s}}\,}.
Isolando a massa verdadeira m,
m = m_{\text{lida}}\;\frac{\,1-\dfrac{\rho_{a}}{\rho_{s}}\,}{\,1-\dfrac{\rho_{a}}{\rho}\,}.
Essa é a fórmula de correção: multiplicamos a massa lida pela razão \dfrac{1-\rho_{a}/\rho_{s}}{1-\rho_{a}/\rho} para obter a massa verdadeira.

Passo 6

Interpretação física e verificação de casos-limite (ajuda a entender como usar a fórmula):
  • Se \rho=\rho_{s} (o corpo tem a mesma densidade do padrão), então
\frac{1-\rho_{a}/\rho_{s}}{1-\rho_{a}/\rho}=1,
logo m=m_{\text{lida}}. Faz sentido: a calibração já compensa exatamente o empuxo para esse tipo de material.
  • Se \rho\to\infty (objeto com volume praticamente nulo, empuxo desprezível), então o fator tende a 1-\rho_{a}/\rho_{s}; assim m é um pouco menor que m_{\text{lida}} porque a balança foi calibrada assumindo que o padrão sofre um pequeno empuxo que o nosso objeto não sofre.
  • Se \rho é pequeno (materiais leves e volumosos), o denominador 1-\rho_{a}/\rho pode ser significativamente menor que 1, aumentando o fator de correção e fazendo com que a massa verdadeira seja maior (às vezes notavelmente) que a massa lida.

Passo 7

Estimativas numéricas rápidas para sentir a ordem de grandeza (útil na prova):
Usando \rho_{s}=8000 e \rho_{a}=1,205:
1-\frac{\rho_{a}}{\rho_{s}}=1-\frac{1,205}{8000}\approx 0,999849375.
  • Para um objeto de água \rho=1000:
1-\frac{\rho_{a}}{\rho}=1-\frac{1,205}{1000}=0,998795,
e o fator é
\frac{0,999849375}{0,998795}\approx 1,00106,
ou seja, m\approx 1,00106\,m_{\text{lida}} — correção de cerca de +0{,}106\%.
  • Para um metal muito denso (risco \rho\to\infty) o fator é 0{,}999849375, correção de cerca de -0{,}015\%.
  • Para um material leve ( \rho=100) o fator fica aproximadamente 1{,}012 (cerca de +1{,}2\%).
Conclusão prática: para materiais densos (metais comuns) a correção é muito pequena, mas para materiais leves ou quando se exige alta precisão (analytical balance) a correção é relevante.

Passo 8

Resposta verbal curta à segunda pergunta: o empuxo do ar realmente importa quando a precisão requerida é comparável à ordem de grandeza da correção mostrada acima. Em medições grosseiras pode ser desprezado para metais, mas em balanças analíticas (alta precisão) ou para corpos pouco densos deve-se aplicar a correção.

Resposta

m = m_{\text{lida}}\;\dfrac{\,1-\dfrac{\rho_{a}}{\rho_{s}}\,}{\,1-\dfrac{\rho_{a}}{\rho}\,}
Sim. O empuxo do ar importa quando se busca precisão (a correção é pequena para metais densos, mas pode ser significativa para materiais pouco densos ou em balanças analíticas).

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