Um operário deseja amontoar areia em uma área circular no canteiro de obras. O raio do círculo é R. Nenhuma areia deve ficar fora do círculo. Mostre que o maior volume de areia que pode ser guardado desta maneira é \pi \mu_{\mathrm{e}} R^{3} / 3, onde \mu_{\mathrm{e}} é o coeficiente de atrito estático da areia com a areia. (O volume de um cone é A h / 3, onde A é a área da base e h é a altura).

Passo 1

O enunciado diz: temos um canteiro circular de raio \,R e queremos amontoar areia dentro desse círculo, sem deixar areia fora. A areia tem coeficiente de atrito estático \,\mu_{\mathrm{e}}, isto é, existe um ângulo de repouso máximo (ângulo de atrito) além do qual a pilha escorrega. O problema pede para mostrar que o maior volume possível de areia guardada é \pi \mu_{\mathrm{e}} R^{3}/3. Dados relevantes que vamos usar explicitamente: o raio do círculo \,R, o coeficiente de atrito estático \,\mu_{\mathrm{e}}, e a fórmula do volume de um cone (volume = área da base \times altura /\;3).

Passo 2

Entendendo o efeito do coeficiente de atrito: a areia não pode formar uma parede com inclinação arbitrária; existe um ângulo de repouso \varphi tal que
\mu_{\mathrm{e}}=\tan\varphi.
Geometricamente, isso significa que, em qualquer ponto da superfície da pilha, a inclinação máxima (ângulo entre a superfície e o plano horizontal) não pode exceder \varphi. Em termos de declividade (razão altura/alcance horizontal) isso se traduz, em uma configuração de revolução, por uma relação do tipo “altura sobre raio local” limitada por \mu_{\mathrm{e}}. Vou tornar isso preciso nos próximos passos.

Passo 3

Vamos trabalhar com uma pilha de areia de forma rotacionalmente simétrica em torno do centro do círculo (isso é natural: para distribuir material de modo a maximizar volume dentro de um disco, a simetrização radial não diminui o volume e simplifica a análise). Defina h(r) como a altura da pilha medida perpendicular ao plano do canteiro, no ponto que está a uma distância radial r do centro, para 0\le r\le R. A condição “nenhuma areia fora do círculo” implica que h(r)=0 para r\ge R, em particular h(R)=0. A condição de estabilidade (ângulo de repouso) impõe uma restrição na derivada radial de h: a inclinação radial, em módulo, não pode exceder \mu_{\mathrm{e}}. Se a pilha é não crescente com r (o que faz sentido: a altura é máxima no centro e decresce para a borda), então h'(r)\le 0 e
-\,h'(r)\le \mu_{\mathrm{e}}\quad\text{ou seja}\quad h'(r)\ge -\mu_{\mathrm{e}}.
Vou usar essa desigualdade para limitar a altura máxima no centro e a forma que maximiza o volume.

Passo 4

Limite para a altura central. Integre a desigualdade h'(r)\ge -\mu_{\mathrm{e}} de r=0 até r=R:
h(R)-h(0)=\int_{0}^{R} h'(r)\,dr \ge \int_{0}^{R} (-\mu_{\mathrm{e}})\,dr = -\mu_{\mathrm{e}}R.
Como h(R)=0, obtemos
0 - h(0) \ge -\mu_{\mathrm{e}}R \quad\Rightarrow\quad h(0)\le \mu_{\mathrm{e}}R.
Isto é, a altura máxima no centro não pode exceder \mu_{\mathrm{e}}R. Intuição: indo do centro até a borda, com declividade máxima permitida \mu_{\mathrm{e}}, a maior altura possível no centro é a que se obtém usando sempre a inclinação máxima até a borda.

Passo 5

Qual perfil h(r) dá o maior volume? Para um dado valor de h(0)=H a maior altura possível em um raio r (respeitando a desigualdade h'(s)\ge -\mu_{\mathrm{e}}) é obtida quando a derivada está exatamente na sua cota inferior, isto é h'(s)=-\mu_{\mathrm{e}} para 0\le s\le até o ponto onde h zera. Integramos h'(r)=-\mu_{\mathrm{e}} com condição h(R)=0 e obtemos o perfil linear
h(r)=\mu_{\mathrm{e}}(R-r),\quad 0\le r\le R.
Esse perfil é simplesmente um cone reto de altura h(0)=\mu_{\mathrm{e}}R e raio da base igual a R. Qualquer outro perfil admissível (com derivada restrita a \ge -\mu_{\mathrm{e}} e com h(R)=0) terá valores h(r) menores ou iguais a esse perfil em ao menos algum intervalo, portanto dá volume menor ou igual. Assim o perfil que maximiza o volume é exatamente o cone cuja superfície faz o ângulo de repouso \varphi em todos os pontos laterais.

Passo 6

Calcule o volume do cone máximo. A expressão geral do volume de um sólido de revolução com perfil h(r) é
V = 2\pi \int_{0}^{R} h(r)\, r\, dr.
Substituindo o perfil ótimo h(r)=\mu_{\mathrm{e}}(R-r) obtemos
V_{\max}=2\pi\int_{0}^{R} \mu_{\mathrm{e}}(R-r)\,r\,dr =2\pi\mu_{\mathrm{e}}\int_{0}^{R} (Rr - r^{2})\,dr.
Calcule a integral passo a passo:
\int_{0}^{R} Rr\,dr = R\left[\frac{r^{2}}{2}\right]_{0}^{R} = \frac{R^{3}}{2},
\int_{0}^{R} r^{2}\,dr = \left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{0}^{R} = \frac{R^{3}}{3}.
Portanto
V_{\max}=2\pi\mu_{\mathrm{e}}\left(\frac{R^{3}}{2}-\frac{R^{3}}{3}\right) =2\pi\mu_{\mathrm{e}}R^{3}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right) =2\pi\mu_{\mathrm{e}}R^{3}\cdot\frac{1}{6}.
Simplificando,
V_{\max}=\frac{1}{3}\pi\mu_{\mathrm{e}}R^{3}.
Observação geométrica: este resultado coincide com o volume de um cone de base de raio R e altura h(0)=\mu_{\mathrm{e}}R, pois V_{\text{cone}}=(\pi R^{2})(\mu_{\mathrm{e}}R)/3 = \pi\mu_{\mathrm{e}}R^{3}/3.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi \mu_{\mathrm{e}} R^{3}}{3}

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