Um operário deseja amontoar areia em uma área circular no canteiro de obras. O raio do círculo é
. Nenhuma areia deve ficar fora do círculo. Mostre que o maior volume de areia que pode ser guardado desta maneira é
, onde
é o coeficiente de atrito estático da areia com a areia. (O volume de um cone é
, onde
é a área da base e
é a altura).
Passo 1
O enunciado diz: temos um canteiro circular de raio
e queremos amontoar areia dentro desse círculo, sem deixar areia fora. A areia tem coeficiente de atrito estático
, isto é, existe um ângulo de repouso máximo (ângulo de atrito) além do qual a pilha escorrega. O problema pede para mostrar que o maior volume possível de areia guardada é
. Dados relevantes que vamos usar explicitamente: o raio do círculo
, o coeficiente de atrito estático
, e a fórmula do volume de um cone (volume
área da base
altura
).
Passo 2
Entendendo o efeito do coeficiente de atrito: a areia não pode formar uma parede com inclinação arbitrária; existe um ângulo de repouso
tal que
Geometricamente, isso significa que, em qualquer ponto da superfície da pilha, a inclinação máxima (ângulo entre a superfície e o plano horizontal) não pode exceder
. Em termos de declividade (razão altura/alcance horizontal) isso se traduz, em uma configuração de revolução, por uma relação do tipo “altura sobre raio local” limitada por
. Vou tornar isso preciso nos próximos passos.
Passo 3
Vamos trabalhar com uma pilha de areia de forma rotacionalmente simétrica em torno do centro do círculo (isso é natural: para distribuir material de modo a maximizar volume dentro de um disco, a simetrização radial não diminui o volume e simplifica a análise). Defina
como a altura da pilha medida perpendicular ao plano do canteiro, no ponto que está a uma distância radial
do centro, para
. A condição “nenhuma areia fora do círculo” implica que
para
, em particular
. A condição de estabilidade (ângulo de repouso) impõe uma restrição na derivada radial de
: a inclinação radial, em módulo, não pode exceder
. Se a pilha é não crescente com
(o que faz sentido: a altura é máxima no centro e decresce para a borda), então
e
Vou usar essa desigualdade para limitar a altura máxima no centro e a forma que maximiza o volume.
Passo 4
Limite para a altura central. Integre a desigualdade
de
até
:
Como
, obtemos
Isto é, a altura máxima no centro não pode exceder
. Intuição: indo do centro até a borda, com declividade máxima permitida
, a maior altura possível no centro é a que se obtém usando sempre a inclinação máxima até a borda.
Passo 5
Qual perfil
dá o maior volume? Para um dado valor de
a maior altura possível em um raio
(respeitando a desigualdade
) é obtida quando a derivada está exatamente na sua cota inferior, isto é
para
até o ponto onde
zera. Integramos
com condição
e obtemos o perfil linear
Esse perfil é simplesmente um cone reto de altura
e raio da base igual a
. Qualquer outro perfil admissível (com derivada restrita a
e com
) terá valores
menores ou iguais a esse perfil em ao menos algum intervalo, portanto dá volume menor ou igual. Assim o perfil que maximiza o volume é exatamente o cone cuja superfície faz o ângulo de repouso
em todos os pontos laterais.
Passo 6
Calcule o volume do cone máximo. A expressão geral do volume de um sólido de revolução com perfil
é
Substituindo o perfil ótimo
obtemos
Calcule a integral passo a passo:
Portanto
Simplificando,
Observação geométrica: este resultado coincide com o volume de um cone de base de raio
e altura
, pois
.