18*. Um cabo coaxial é constituído por um cabo metálico cilíndrico retilíneo e infinito cujo eixo coincide com o de uma casca cilíndrica também metálica. O cilindro central está carregado com uma densidade de carga igual a 5,0 nC / m. Calcule as densidades de carga nas superfícies interna e externa da casca cilíndrica, cujos raios são a=6,0 cm e b=9,0 cm, respectivamente.

Passo 1

O enunciado descreve um cabo coaxial formado por um condutor cilíndrico infinito (raio não dado) com densidade de carga linear lambda=5,0 nC/m e, concêntrica a ele, uma casca metálica de raio interno a=6,0 cm e raio externo b=9,0 cm. A casca é condutora e supomos que, antes da carga do condutor interno, ela estava neutra. Precisamos encontrar as densidades de carga de superfície sigmarm int (superfície interna da casca) e sigmarm ext (superfície externa da casca).

Passo 2

Como o interior de um condutor em equilíbrio eletrostático deve ter campo elétrico zero, uma superfície gaussiana entre o condutor interno e a parede interna da casca deve ter carga total zero. Logo, a densidade linear de carga na face interna da casca satisfaz
lambdarm int + lambda = 0 Longrightarrow lambdarm int = -lambda
e, como a casca era inicialmente neutra, a face externa deve ter
lambdarm ext = +lambda

Passo 3

A densidade de carga de superfície em um cilindro de raio r é dada por
sigma = lambda2pi r
Portanto,
sigmarm int = lambdarm int2pi a = -lambda2pi a, sigmarm ext = lambdarm ext2pi b = +lambda2pi b
Substituindo lambda=5,0times10^-9,C/m, a=0,06,m, b=0,09,m:
sigmarm int = -5,0times10^-92pi,(0,06) approx -1,33times10^-8,C/m^2,
sigmarm ext = +5,0times10^-92pi,(0,09) approx +8,84times10^-9,C/m^2

Resposta

sigmarm intapprox -1,33times10^-8,C/m^2
sigmarm extapprox +8,84times10^-9,C/m^2

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