Deduza a expressão para o período de um pêndulo físico.
Passo 1
O enunciado quer a expressão do período de um pêndulo físico em pequenas oscilações. O pêndulo físico é um corpo rígido de massa
que oscila em torno de um pivô fixo, estando o centro de massa a uma distância
do pivô. Vamos usar torque, momento de inércia e a aproximação de pequenos ângulos para obter uma equação de movimento do tipo oscilação harmônica simples (OHS).
Passo 2
Calcule o torque
devido ao peso em relação ao pivô. Para um deslocamento angular
, o peso
age no centro de massa e produz
Pela segunda lei de Newton para rotação, temos
onde
é o momento de inércia do corpo em relação ao pivô e
é a aceleração angular. Portanto
Passo 3
Para pequenas oscilações,
é pequeno e usamos
. Assim a equação de movimento lineariza para
Essa forma é idêntica à equação de um sistema de OHS.
Passo 4
Na OHS a equação genérica é
onde
é a frequência angular. Comparando com
vemos que
Passo 5
O período
da oscilação relaciona-se com
por
Substituindo
obtemos