Deduza a expressão para o período de um pêndulo físico.

Passo 1

O enunciado quer a expressão do período de um pêndulo físico em pequenas oscilações. O pêndulo físico é um corpo rígido de massa m que oscila em torno de um pivô fixo, estando o centro de massa a uma distância d do pivô. Vamos usar torque, momento de inércia e a aproximação de pequenos ângulos para obter uma equação de movimento do tipo oscilação harmônica simples (OHS).

Passo 2

Calcule o torque tau devido ao peso em relação ao pivô. Para um deslocamento angular theta, o peso mg age no centro de massa e produz
tau = -,mg,dsintheta
Pela segunda lei de Newton para rotação, temos
I,ddottheta = tau,
onde I é o momento de inércia do corpo em relação ao pivô e ddottheta é a aceleração angular. Portanto
I,ddottheta = -,mg,dsintheta

Passo 3

Para pequenas oscilações, theta é pequeno e usamos sinthetaapproxtheta. Assim a equação de movimento lineariza para
I,ddottheta + mg,d,theta = 0
Essa forma é idêntica à equação de um sistema de OHS.

Passo 4

Na OHS a equação genérica é
ddottheta + omega^2,theta = 0,
onde omega é a frequência angular. Comparando com
I,ddottheta + mg,d,theta = 0
vemos que
omega^2 = mg,dI, omega = raizmg,dI

Passo 5

O período T da oscilação relaciona-se com omega por
T = 2piomega
Substituindo omega obtemos
T = 2pi raizImg,d

Resposta

T = 2pi raizIm g , d

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