Q 18 Calcule os limites, envolvendo radicais, troca de variáveis e indeterminação 0 / 0.
lim x 1 raiz[3]3 x+5-2x-1

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto1raiz[3]3x+5-2x-1
que é uma indeterminação do tipo 0/0. O conteúdo envolve radicais e a técnica de troca de variável para racionalizar usando a fatoração de diferença de cubos.

Passo 2

Verificamos a indeterminação fazendo x=1:
raiz[3]3cdot1+5-2 = raiz[3]8-2 = 2-2 = 0,
e
1-1=0,
logo temos 0/0.

Passo 3

Para limpar o radical, definimos
t = raiz[3]3x+5
Então t^3 = 3x+5, ou seja
x = t^3 - 53

Passo 4

Reescrevendo a diferença x-1:
x-1 = t^3-53 - 1 = t^3 - 83 = (t-2)(t^2+2t+4)3
A expressão original vira
t-2,(t-2)(t^2+2t+4)3, = 3t^2+2t+4

Passo 5

Quando xto1 temos t = raiz[3]3cdot1+5=2. Substituindo:
limtto23t^2+2t+4 = 32^2 + 2cdot2 + 4 = 34+4+4 = 312 = 14

Resposta

14

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