2 Calcule o fluxo do campo F=(x-y-4) i+y j+z k, através da superfície S: x^2+y^2+z^2=1, z >= 0, com campo normal n exterior. Resp. 2 pi

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo vetorial
vec F=(x - y - 4),vec i + y,vec j + z,vec k
através da superfície S dada pela hemisfera
;x^2+y^2+z^2=1,;z>=0, com normal externa.
Para facilitar, vamos fechar a superfície com o disco D0colon z=0,;x^2+y^2<=1 e aplicar o Teorema da Divergência sobre a região D (meia-bola).

Passo 2

Calcular a divergência do campo:
nablacdotvec F =partialpartial x(x-y-4) +partialpartial y(y) +partialpartial z(z) =1+1+1 =3

Passo 3

A região D é a meia-bola de raio 1. Seu volume é
V(D) =tfrac12cdot43pi(1)^3 =2pi3

Passo 4

Pelo Teorema da Divergência, o fluxo total pela superfície fechada
Sigma = Scup D0 é
PhiSigma =integral triplaD(nablacdotvec F),dV =3cdot V(D) =3cdot 2pi3 =2pi

Passo 5

No disco de fechamento D0colon z=0, a normal externa é vec n=(0,0,-1) e
vec F|z=0 =(x-y-4),vec i+y,vec j+0,vec k
Logo
vec Fcdotvec n =0 Longrightarrow PhiD0=0

Passo 6

Como PhiSigma=PhiS+PhiD0, temos
PhiS =PhiSigma-PhiD0 =2pi-0 =2pi

Resposta

2pi

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