Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo:
(c) x y^prime=(1-y^2)^1 / 2

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
x,y'=l(1-y^2r)^1/2
Isso é uma equação de variáveis separáveis: vamos identificar y'=dfracdydx e separar x e y.

Passo 2

Escrevendo y'=dfracdydx, a equação vira
dydx=raiz1-y^2x
Agora separamos as variáveis colocando termos com y de um lado e com x do outro:
dyraiz1-y^2=dxx

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral dyraiz1-y^2=integral dxx
A integral à esquerda é a primitiva de dfrac1raiz1-u^2, que é arcsin(u). A da direita é ln|x|. Logo

Passo 4

arcsin(y)=lnlvert xrvert + C,
onde C é constante de integração. Para isolar y, aplicamos o seno em ambos os lados:

Passo 5

y=sinl(lnlvert xrvert + Cr)

Resposta

A solução geral é
y(x)=sinl(lnlvert xrvert + Cr),
com C constante arbitrária.

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