Q 18 Calcule os limites, envolvendo radicais, troca de variáveis e indeterminação 0 / 0.
lim x 1 raiz[5]x-1raiz[4]x-1

Passo 1

O enunciado pede
limxto1raiz[5]x-1raiz[4]x-1
que é uma indeterminação do tipo 0/0. O conteúdo envolvido é limites com radicais e eliminação da indeterminação via troca de variável.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = t^20,
de modo que
raiz[5]x=x^1/5=(t^20)^1/5=t^4, raiz[4]x=x^1/4=(t^20)^1/4=t^5
Quando xto1, temos tto1.

Passo 3

Substituindo no limite original, obtém-se
limxto1raiz[5]x-1raiz[4]x-1 =limtto1t^4-1t^5-1

Passo 4

Fatoramos numerador e denominador:
t^4-1=(t-1)(1+t+t^2+t^3), t^5-1=(t-1)(1+t+t^2+t^3+t^4)
Cancelando (t-1) e avaliando em t=1, vem
limtto11+t+t^2+t^31+t+t^2+t^3+t^4 =45

Resposta

45

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