E. 18 Calcule a massa, em microgramas, de (a) 3,27 \times 10^{16} átomos de Hg; (b) 963 nmol de átomos de Hf; (c) 5,50 \mu \mathrm{~mol} de átomos de Gd; (d) 6,02 \times 10^{25} átomos de Sb.
E. 19 Um relatório declarou que o Observatório de Neutrinos de Sudbury, em Sudbury, Canadá, usa 1,00 \times 10^{3} \mathrm{t}\left(1 \mathrm{t}=10^{3} \mathrm{~kg}\right) de água pesada, \mathrm{D}_{2} \mathrm{O}, em um tanque esférico de diâmetro igual a 12 m para detectar as partículas subatômicas chamadas de neutrinos. A densidade da água normal ( \mathrm{H}_{2} \mathrm{O} ) na temperatura do tanque é igual a 1,00 \mathrm{~g} \cdot \mathrm{~cm}^{-3}. (a) Usando a massa molar do deutério ( 2,014 \mathrm{~g} \cdot \mathrm{~mol}^{-1} ), calcule a massa molar do \mathrm{D}_{2} \mathrm{O}. (b) Supondo que o volume ocupado por uma molécula de \mathrm{D}_{2} \mathrm{O} é igual ao ocupado por uma molécula de \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}, calcule a densidade da água pesada. (c) Calcule o volume do tanque em metros cúbicos a partir de seus dados de densidade e da massa da água pesada e compare o volume encontrado com o volume do tanque determinado a partir do diâmetro. (d) A massa dada para a água pesada é acurada? (e) A suposição que você fez no item (b) é razoável? Explique seu raciocínio. (O volume de uma esfera de raio r é V=\frac{4}{3} \pi r^{3}.)

Passo 1

Vou organizar o que o enunciado dá e o que pede para cada exercício, de forma clara para a gente não se perder.
Para o exercício E.18:
  • Perguntas: calcular a massa, em microgramas, para cada item:
    (a) 3,27\times10^{16} átomos de Hg;
    (b) 963 nmol de átomos de Hf;
    (c) 5,50\\ \mu\mathrm{mol} de átomos de Gd;
    (d) 6,02\times10^{25} átomos de Sb.
  • Informação útil que vou usar para todos os itens: constante de Avogadro N_A = 6,022\times10^{23}\\ \mathrm{mol}^{-1}. Para passar de átomos para mols: \text{mols}=\dfrac{\text{número de átomos}}{N_A}úá. Para passar de mols para massa em gramas: \text{massa (g)}=\text{mols}\times\text{massa molar (g mol}^{-1}). Para passar gramas para microgramas: 1\\ \mathrm{g}=10^{6}\\ \mu\mathrm{g}.
  • Vou usar massas molares aproximadas (valores tabulados): \mathrm{Hg}: 200,59\\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{mol}^{-1}, \mathrm{Hf}: 178,49\\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{mol}^{-1}, \mathrm{Gd}: 157,25\\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{mol}^{-1}, \mathrm{Sb}: 121,76\\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{mol}^{-1}.
Para o exercício E.19:
  • Dados do enunciado:
    • massa de água pesada no tanque: 1,00\times10^{3}\\ \mathrm{t} com 1\\ \mathrm{t}=10^{3}\\ \mathrm{kg}. Então massa =1,00\times10^{6}\\ \mathrm{kg}.
    • diâmetro do tanque esférico: 12\\ \mathrm{m} (logo raio r=6\\ \mathrm{m}).
    • densidade da água normal: \rho_{\mathrm{H_2O}}=1,00\\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{cm}^{-3} (temperatura do tanque).
    • massa atômica do deutério (D): 2,014\\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{mol}^{-1}.
  • Perguntas:
    (a) calcular a massa molar do \mathrm{D_2O};
    (b) supondo que o volume ocupado por uma molécula de \mathrm{D_2O} é igual ao de uma de \mathrm{H_2O}, calcular a densidade da água pesada;
    (c) usar a densidade encontrada e a massa dada para calcular o volume do líquido e comparar com o volume geométrico do tanque calculado por V=\dfrac{4}{3}\pi r^{3};
    (d) a massa dada é acurada? (ou seja, consistente com o volume do tanque);
    (e) a suposição do item (b) é razoável? justificar.
  • Observações: usarei massa molar do oxigênio 16,00\\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{mol}^{-1} e da água normal M_{\mathrm{H_2O}}\approx18,015\\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{mol}^{-1}. Sempre explico cada fórmula que usar.

Passo 2

E.18 — método geral (aula rapidinha para fixar): transformar número de átomos ou quantidade em mols e daí para massa.
  • Se eu tenho um número de átomos N, o número de mols é
n=\dfrac{N}{N_A},
onde N_A=6,022\times10^{23}\\ \mathrm{mol}^{-1}.
  • A massa em gramas é
m(\mathrm{g})=n\cdot M,
onde M é a massa molar (em \mathrm{g}\cdot\mathrm{mol}^{-1}).
  • Para passar para microgramas:
m(\mu\mathrm{g})=m(\mathrm{g})\times10^{6}.
Agora aplico isso item a item, mostrando as contas passo a passo.

Passo 3

E.18 (a) 3,27\times10^{16} átomos de Hg.
  1. calcular mols:
n=\dfrac{3,27\times10^{16}}{6,022\times10^{23}}.
Faço a conta: \dfrac{3,27}{6,022}=0,5430 e o fator de potências é 10^{16-23}=10^{-7}, então
n=5,430\times10^{-8}\\ \mathrm{mol}.
  1. massa em gramas:
m(\mathrm{g})=n\cdot M_{\mathrm{Hg}}=(5,430\times10^{-8})\times(200,59)=1,089\times10^{-5}\\ \mathrm{g}.
  1. em microgramas:
m(\mu\mathrm{g})=1,089\times10^{-5}\times10^{6}=10,9\\ \mu\mathrm{g}.
Interpretação: isso significa que 3,27\times10^{16} átomos de Hg pesam cerca de 10,9\\ \mu\mathrm{g}.

Passo 4

E.18 (b) 963 nmol de átomos de Hf.
  • lembrando: 1\\ \mathrm{nmol}=10^{-9}\\ \mathrm{mol}. Então
n=963\times10^{-9}=9,63\times10^{-7}\\ \mathrm{mol}.
  • massa em gramas:
m(\mathrm{g})=n\cdot M_{\mathrm{Hf}}=(9,63\times10^{-7})\times(178,49)=1,719\times10^{-4}\\ \mathrm{g}.
  • em microgramas:
m(\mu\mathrm{g})=1,719\times10^{-4}\times10^{6}=171,9\\ \mu\mathrm{g}.

Passo 5

E.18 (c) 5,50\\ \mu\mathrm{mol} de átomos de Gd.
  • lembrando: 1\\ \mu\mathrm{mol}=10^{-6}\\ \mathrm{mol}. Então
n=5,50\times10^{-6}\\ \mathrm{mol}.
  • massa em gramas:
m(\mathrm{g})=(5,50\times10^{-6})\times(157,25)=8,649\times10^{-4}\\ \mathrm{g}.
  • em microgramas:
m(\mu\mathrm{g})=8,649\times10^{-4}\times10^{6}=864,9\\ \mu\mathrm{g}.

Passo 6

E.18 (d) 6,02\times10^{25} átomos de Sb.
  1. mols:
n=\dfrac{6,02\times10^{25}}{6,022\times10^{23}}.
Faço a razão: \dfrac{6,02}{6,022}\approx0,9997 e potência 10^{25-23}=10^{2}, então
n\approx99,97\\ \mathrm{mol}.
  1. massa em gramas:
m(\mathrm{g})\approx99,97\times121,76=1,2172\times10^{4}\\ \mathrm{g}.
  1. em microgramas:
m(\mu\mathrm{g})=1,2172\times10^{4}\times10^{6}=1,2172\times10^{10}\\ \mu\mathrm{g}.
Arredondando com 3 algarismos significativos: 1,22\times10^{10}\\ \mu\mathrm{g}.

Passo 7

E.19 (a) massa molar do \mathrm{D_2O}.
  • Definição: massa molar de uma molécula é a soma das massas molares dos átomos que a compõem.
  • Para \mathrm{D_2O}: dois deutérios + um oxigênio. Com M_{\mathrm{D}}=2,014\\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{mol}^{-1} e M_{\mathrm{O}}=16,00\\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{mol}^{-1},
M_{\mathrm{D_2O}}=2\times2,014+16,00=4,028+16,00=20,028\\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{mol}^{-1}.
Arredondando razoavelmente: M_{\mathrm{D_2O}}=20,03\\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{mol}^{-1}.

Passo 8

E.19 (b) densidade da água pesada supondo volume molecular igual ao da água normal.
  • A ideia física: se uma molécula de \mathrm{D_2O} ocupa o mesmo volume que uma molécula de \mathrm{H_2O}, então a massa por unidade de volume (densidade) escala diretamente com a massa por molécula, ou seja com a massa molar. Assim
\rho_{\mathrm{D_2O}}=\rho_{\mathrm{H_2O}}\times\dfrac{M_{\mathrm{D_2O}}}{M_{\mathrm{H_2O}}}.
  • Usando M_{\mathrm{H_2O}}=18,015\\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{mol}^{-1} e \rho_{\mathrm{H_2O}}=1,00\\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{cm}^{-3},
\rho_{\mathrm{D_2O}}=1,00\times\dfrac{20,028}{18,015}=1,1119\\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{cm}^{-3}.
Arredondando: \rho_{\mathrm{D_2O}}=1,11\\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{cm}^{-3}.

Passo 9

E.19 (c) volume da água pesada a partir da densidade e da massa, e volume geométrico do tanque.
  1. massa dada: 1,00\times10^{3}\\ \mathrm{t}=1,00\times10^{6}\\ \mathrm{kg}=1,00\times10^{9}\\ \mathrm{g}.
  2. volume a partir da densidade:
V=\dfrac{m}{\rho}=\dfrac{1,00\times10^{9}\\ \mathrm{g}}{1,1119\\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{cm}^{-3}}=8,993\times10^{8}\\ \mathrm{cm}^{3}.
Converter para \mathrm{m}^{3} sabendo que 1\\ \mathrm{m}^{3}=10^{6}\\ \mathrm{cm}^{3}:
V=8,993\times10^{8}\\ \mathrm{cm}^{3}\times\frac{1\\ \mathrm{m}^{3}}{10^{6}\\ \mathrm{cm}^{3}}=899,3\\ \mathrm{m}^{3}.
  1. volume geométrico do tanque (esfera de raio r=6\\ \mathrm{m}):
V_{\text{esfera}}=\dfrac{4}{3}\pi r^{3}=\dfrac{4}{3}\pi(6)^{3}=\dfrac{4}{3}\pi\cdot216=288\pi\\ \mathrm{m}^{3}.
Numericamente:
V_{\text{esfera}}=288\pi\approx904,78\\ \mathrm{m}^{3}.
  1. comparar: volume pela densidade =899,3\\ \mathrm{m}^{3} versus volume geométrico =904,78\\ \mathrm{m}^{3}. Diferença absoluta:
\Delta V=904,78-899,3=5,48\\ \mathrm{m}^{3},
que em porcentagem é
\frac{\Delta V}{V_{\text{esfera}}}\times100\%\approx\frac{5,48}{904,78}\times100\%\approx0,61\%.

Passo 10

E.19 (d) — a massa dada para a água pesada é acurada?
  • Interpretação: “acurada” aqui significa se a massa declarada é compatível com o volume do tanque dado o valor típico da densidade. Como a diferença entre os volumes (usando massa e densidade) e o volume geométrico do tanque é apenas cerca de 0,61\%, podemos afirmar que a massa fornecida é consistente/accurada dentro de erros de arredondamento e incertezas práticas. Portanto, sim — a massa dada é acurada dentro de uma margem muito pequena.

Passo 11

E.19 (e) — a suposição do item (b) é razoável?
  • Explicação física simples: assumir que cada molécula de \mathrm{D_2O} ocupa exatamente o mesmo volume que uma de \mathrm{H_2O} é uma aproximação de isótopo. Isótopos têm o mesmo número de elétrons e, portanto, quimicamente se ligam de forma muito semelhante; as diferenças de tamanho eletrônico são muito pequenas. A massa maior do deutério (comparada ao hidrogênio) afeta vibrações e ligações por efeito isotópico, mas a variação de volume molecular é pequena.
  • Comparação com valor experimental: a densidade real da \mathrm{D_2O} à temperatura ambiente é aproximadamente 1,1056\\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{cm}^{-3} (dependendo da temperatura), enquanto nossa estimativa foi \rho_{\mathrm{D_2O}}=1,1119\\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{cm}^{-3}. A diferença é pequena (algumas décimas de porcento a poucos por cento dependendo da temperatura), então a suposição é razoável para estimativas grosseiras e para o propósito do problema. Em um trabalho experimental de alta precisão, efeitos isotópicos e variações de temperatura teriam de ser considerados.

Resposta

E.18 (a) 10,9\\ \mu\mathrm{g}
E.18 (b) 171,9\\ \mu\mathrm{g}
E.18 (c) 864,9\\ \mu\mathrm{g}
E.18 (d) 1,22\times10^{10}\\ \mu\mathrm{g}
E.19 (a) M_{\mathrm{D_2O}}=20,03\\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{mol}^{-1}
E.19 (b) \rho_{\mathrm{D_2O}}=1,11\\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{cm}^{-3}
E.19 (c) Volume a partir da massa e densidade: 899,3\\ \mathrm{m}^{3}. Volume geométrico do tanque: 288\pi\\ \mathrm{m}^{3}\approx904,78\\ \mathrm{m}^{3}.
E.19 (d) Sim — a massa dada é compatível com o volume do tanque (diferença \approx0,61\%).
E.19 (e) Sim, a suposição é razoável para estimativas; diferenças isotópicas existem mas introduzem pequenas correções.

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