E. 20 Um químico encomendou 1,000 \mathrm{~kg} de \mathrm{D}_{2} \mathrm{O} de um fabricante que afirma que o composto é 98 \% puro (isto é, contém no máximo 2 \% de \mathrm{H}_{2} \mathrm{O} por massa). Para verificar a afirmação, o químico mediu a densidade do \mathrm{D}_{2} \mathrm{O} e encontrou 1,10 \mathrm{~g} \cdot \mathrm{~cm}^{-3}. A densidade da água normal \left(\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}\right) na temperatura do teste é igual a 1,00 \mathrm{~g} \cdot \mathrm{~cm}^{-3}. A pureza declarada pelo fabricante está correta? (A massa molar do deutério é igual a 2,014 \mathrm{~g} \cdot \mathrm{~mol}^{-1}.) Faça as mesmas suposições do Exercício E.19(b).
E. 21 Calcule a quantidade (em mols) e o número de moléculas e de fórmulas unitárias (ou átomos, se indicado) em (a) 10,0 g de alumina, \mathrm{Al}_{2} \mathrm{O}_{3}; (b) 25,92 \mathrm{mg} de fluoreto de hidrogênio, HF ;
(c) 1,55 \mathrm{mg} de peróxido de hidrogênio, \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}_{2}; (d) 1,25 \mathrm{~kg} de glicose, \mathrm{C}_{6} \mathrm{H}_{12} \mathrm{O}_{6}; (e) 4,37 \mathrm{~g} de nitrogênio como átomos de N e como moléculas de \mathrm{N}_{2}.

Passo 1

Vou identificar claramente o que cada exercício pede e quais dados foram fornecidos.
Para o exercício E.20:
  • O que se pede: verificar se a pureza declarada pelo fabricante ( 98\% puro, ou seja, no máximo 2\% em massa de \mathrm{H}_{2}\mathrm{O}) está correta, dado que a densidade medida da amostra é \,1,10\\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{cm}^{-3}.
  • Dados fornecidos:
    • massa encomendada: 1{,}000\\ \mathrm{kg} (isso apenas fixa escala, mas a verificação pode ser feita por frações);
    • densidade medida da amostra: \rho_{\text{mix}} = 1{,}10\\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{cm}^{-3};
    • densidade da água normal: \rho_{\mathrm{H_{2}O}} = 1{,}00\\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{cm}^{-3} (na temperatura do teste);
    • massa molar do deutério: M_{\mathrm{D}} = 2{,}014\\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{mol}^{-1}.
  • Observação do enunciado: “Faça as mesmas suposições do Exercício E.19(b).” Vou explicitar a suposição que vou usar, pois é necessária para o cálculo: assumirei que a mistura \mathrm{H_{2}O}/ \mathrm{D_{2}O} não sofre mudança de volume significativa ao misturar (ou seja, o volume molar dos dois componentes é o mesmo), de modo que a densidade da mistura é proporcional à massa molar média. Essa é uma suposição usual para estimativas rápidas quando se compara isotopólogos (é a suposição plausível em E.19(b)).
Para o exercício E.21:
  • O que se pede: para cada subitem (a)–(e), calcular (i) a quantidade em mols e (ii) o número de moléculas, unidades-formula ou átomos, conforme pedido.
  • Dados gerais que usarei:
    • constante de Avogadro: N_A = 6{,}022\times10^{23}\\ \text{entidades}\cdot\text{mol}^{-1};
    • massas atômicas aproximadas que usarei: \,M_{\mathrm{H}} = 1{,}008\\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{mol}^{-1}, \,M_{\mathrm{D}} = 2{,}014\\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{mol}^{-1} (fornecido), \,M_{\mathrm{O}} = 16{,}00\\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{mol}^{-1}, \,M_{\mathrm{Al}} = 26{,}98\\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{mol}^{-1}, \,M_{\mathrm{F}} = 19{,}00\\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{mol}^{-1}, \,M_{\mathrm{C}} = 12{,}01\\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{mol}^{-1}, \,M_{\mathrm{N}} = 14{,}01\\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{mol}^{-1}.
  • Conversões de massa quando necessário: 1{,}00\\ \mathrm{kg} = 1000\\ \mathrm{g}, 1\\ \mathrm{mg} = 10^{-3}\\ \mathrm{g}.

Passo 2

Vou explicar a ideia física e a fórmula principal que vou usar para E.20 (a parte teórica necessária).
Conceito-chave:
  • Densidade é massa por volume. Para uma substância pura, \rho = \dfrac{M}{V_{\text{mol}}} se considerarmos o volume molar V_{\text{mol}} (volume ocupado por 1 mol). Se assumirmos que \emph{o volume molar é aproximadamente o mesmo} para \mathrm{H_{2}O} e \mathrm{D_{2}O}, então a densidade de uma amostra será proporcional à massa molar média M_{\text{média}}é.
  • Assim, com essa suposição, para qualquer mistura,
\frac{\rho_{\text{mix}}}{\rho_{\mathrm{H_{2}O}}} = \frac{M_{\text{média}}}{M_{\mathrm{H_{2}O}}}.é
  • A massa molar média pode ser escrita em termos da fração molar de \mathrm{H_{2}O}. Se x for a fração molar de \mathrm{H_{2}O} (e 1-x a fração molar de \mathrm{D_{2}O}),
M_{\text{média}} = x\,M_{\mathrm{H_{2}O}} + (1-x)\,M_{\mathrm{D_{2}O}}.é
  • Substituindo na relação de densidades e isolando x obtemos uma fórmula direta para a fração molar de \mathrm{H_{2}O}:
x = \frac{\dfrac{\rho_{\text{mix}}}{\rho_{\mathrm{H_{2}O}}} - \dfrac{M_{\mathrm{D_{2}O}}}{M_{\mathrm{H_{2}O}}}}{1 - \dfrac{M_{\mathrm{D_{2}O}}}{M_{\mathrm{H_{2}O}}}}.
Depois de encontrar x (fração molar), converto para fração \emph{em massa} (percentual em massa) porque a garantia do fabricante é dada em massa ( 2\% máximo de \mathrm{H_{2}O} por massa). A fração em massa de \mathrm{H_{2}O} é
w_{\mathrm{H_{2}O}} = \frac{x\,M_{\mathrm{H_{2}O}}}{x\,M_{\mathrm{H_{2}O}}+(1-x)\,M_{\mathrm{D_{2}O}}}.

Passo 3

Agora aplico essas fórmulas com os valores numéricos (E.20). Primeiro calculo as massas molares das moléculas:
  • Para \mathrm{H_{2}O}:
M_{\mathrm{H_{2}O}} = 2\times M_{\mathrm{H}} + M_{\mathrm{O}} = 2\times1{,}008 + 16{,}00 = 18{,}016\\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{mol}^{-1}.
  • Para \mathrm{D_{2}O}:
M_{\mathrm{D_{2}O}} = 2\times M_{\mathrm{D}} + M_{\mathrm{O}} = 2\times2{,}014 + 16{,}00 = 20{,}028\\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{mol}^{-1}.

Passo 4

Calculo a densidade esperada para \mathrm{D_{2}O} puro sob a suposição de volume molar igual (checagem rápida):
\rho_{\mathrm{D_{2}O,puro}} = \rho_{\mathrm{H_{2}O}} \cdot \frac{M_{\mathrm{D_{2}O}}}{M_{\mathrm{H_{2}O}}} = 1{,}00 \cdot \frac{20{,}028}{18{,}016} \approx 1{,}1118\\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{cm}^{-3}.
(Isto é apenas para referência: a amostra medida tem \,1{,}10, ligeiramente menor que 1{,}1118.)

Passo 5

Determino a fração molar x de \mathrm{H_{2}O} necessária para obter a densidade medida \rho_{\text{mix}} = 1{,}10:
\frac{\rho_{\text{mix}}}{\rho_{\mathrm{H_{2}O}}} = \frac{1{,}10}{1{,}00} = 1{,}10, \qquad \frac{M_{\mathrm{D_{2}O}}}{M_{\mathrm{H_{2}O}}} = \frac{20{,}028}{18{,}016} \approx 1{,}1118009.
Agora uso a fórmula para x:
x = \frac{1{,}10 - 1{,}1118009}{1 - 1{,}1118009} = \frac{-0{,}0118009}{-0{,}1118009} \approx 0{,}10561.
Portanto a fração molar de \mathrm{H_{2}O} é aproximadamente \,0{,}1056 (ou 10{,}56\% em fração molar).

Passo 6

Converto essa fração molar para fração em massa w_{\mathrm{H_{2}O}}:
  • Primeiro calculo a massa molar média M_{\text{média}}é (checa):
M_{\text{média}} = 1{,}10 \times M_{\mathrm{H_{2}O}} = 1{,}10\times18{,}016 = 19{,}8176\\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{mol}^{-1}.é
  • A massa de \mathrm{H_{2}O} por mol de mistura é x\,M_{\mathrm{H_{2}O}} = 0{,}10561\times18{,}016 \approx 1{,}9020\\ \mathrm{g}.
  • Assim a fração em massa é
w_{\mathrm{H_{2}O}} = \frac{1{,}9020}{19{,}8176} \approx 0{,}0960,
ou seja 9{,}60\% em massa de \mathrm{H_{2}O}.

Passo 7

Interpreto o resultado para responder à pergunta de E.20:
  • O fabricante afirmou que há no máximo 2\% de \mathrm{H_{2}O} por massa.
  • A estimativa a partir da densidade medida dá aproximadamente 9{,}60\% de \mathrm{H_{2}O} em massa, o que é muito maior que 2\%.
  • Conclusão: a pureza declarada ( 98\%) não está correta, sob as suposições adotadas (volume molar igual e mistura ideal sem mudança de volume).

Passo 8

Agora resolvo E.21. Vou repetir a ideia geral para esses tipos de problemas:
  • Número de mols: \displaystyle n=\frac{m}{M}, onde m é a massa da amostra e M é a massa molar da substância.
  • Número de entidades (moléculas, unidades-formula, átomos): N = n\cdot N_A, com N_A = 6{,}022\times10^{23}\\ \text{mol}^{-1}.
  • Em compostos, prestar atenção no que é pedido: “fórmulas unitárias” para redes iônicas, “moléculas” para moléculas covalentes, “átomos” se pedirem átomos.
Vou calcular cada item (a)–(e) passo a passo.

Passo 9

(a) Para 10{,}0\\ \mathrm{g} de \mathrm{Al_{2}O_{3}}:
  • Massa molar:
M_{\mathrm{Al_{2}O_{3}}} = 2\times M_{\mathrm{Al}} + 3\times M_{\mathrm{O}} = 2\times26{,}98 + 3\times16{,}00 = 101{,}96\\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{mol}^{-1}.
  • Mols:
n = \frac{m}{M} = \frac{10{,}0}{101{,}96} \approx 0{,}09806\\ \mathrm{mol}.
Arredondando razoavelmente (entrada com 3 dígitos significativos):
n \approx 0{,}0981\\ \mathrm{mol}.
  • Número de fórmulas unitárias:
N = n\cdot N_A \approx 0{,}09806\times 6{,}022\times10^{23} \approx 5{,}91\times10^{22}\\ \text{unidades-formula}.

Passo 10

(b) Para 25{,}92\\ \mathrm{mg} de HF (fluoreto de hidrogênio):
  • Converter massa: 25{,}92\\ \mathrm{mg} = 0{,}02592\\ \mathrm{g}.
  • Massa molar:
M_{\mathrm{HF}} = M_{\mathrm{H}} + M_{\mathrm{F}} = 1{,}008 + 19{,}00 = 20{,}008\\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{mol}^{-1}.
  • Mols:
n = \frac{0{,}02592}{20{,}008} \approx 0{,}0012959\\ \mathrm{mol} \approx 1{,}296\times10^{-3}\\ \mathrm{mol}.
  • Número de moléculas:
N = n\cdot N_A \approx 0{,}0012959\times 6{,}022\times10^{23} \approx 7{,}80\times10^{20}\\ \text{moléculas}.é

Passo 11

(c) Para 1{,}55\\ \mathrm{mg} de \mathrm{H_{2}O_{2}} (peróxido de hidrogênio):
  • Converter massa: 1{,}55\\ \mathrm{mg} = 0{,}00155\\ \mathrm{g}.
  • Massa molar:
M_{\mathrm{H_{2}O_{2}}} = 2\times M_{\mathrm{H}} + 2\times M_{\mathrm{O}} = 2\times1{,}008 + 2\times16{,}00 = 34{,}016\\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{mol}^{-1}.
  • Mols:
n = \frac{0{,}00155}{34{,}016} \approx 4{,}558\times10^{-5}\\ \mathrm{mol}.
  • Número de moléculas:
N = n\cdot N_A \approx 4{,}558\times10^{-5}\times6{,}022\times10^{23} \approx 2{,}75\times10^{19}\\ \text{moléculas}.é

Passo 12

(d) Para 1{,}25\\ \mathrm{kg} de glicose \mathrm{C_{6}H_{12}O_{6}}:
  • Converter massa: 1{,}25\\ \mathrm{kg} = 1250\\ \mathrm{g}.
  • Massa molar:
M_{\mathrm{C_{6}H_{12}O_{6}}}=6\times M_{\mathrm{C}} + 12\times M_{\mathrm{H}} + 6\times M_{\mathrm{O}} = 6\times12{,}01 + 12\times1{,}008 + 6\times16{,}00 = 180{,}156\\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{mol}^{-1}.
  • Mols:
n = \frac{1250}{180{,}156} \approx 6{,}937\\ \mathrm{mol}.
  • Número de moléculas:
N = n\cdot N_A \approx 6{,}937\times6{,}022\times10^{23} \approx 4{,}18\times10^{24}\\ \text{moléculas}.é

Passo 13

(e) Para 4{,}37\\ \mathrm{g} de nitrogênio:
  • Primeiro como átomos de \mathrm{N}:
    • Massa molar do átomo de \mathrm{N}: M_{\mathrm{N}} = 14{,}01\\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{mol}^{-1}.
    • Mols de átomos \mathrm{N}:
    n_{\mathrm{N,átomos}} = \frac{4{,}37}{14{,}01} \approx 0{,}3120\\ \mathrm{mol}.á
    • Número de átomos:
    N_{\mathrm{átomos}} = n_{\mathrm{N,átomos}}\cdot N_A \approx 0{,}3120\times6{,}022\times10^{23} \approx 1{,}88\times10^{23}\\ \text{átomos de N}.ááá
  • Depois como moléculas de \mathrm{N_{2}}:
    • Massa molar de \mathrm{N_{2}}: M_{\mathrm{N_{2}}} = 2\times14{,}01 = 28{,}02\\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{mol}^{-1}.
    • Mols de \mathrm{N_{2}}:
    n_{\mathrm{N_{2}}} = \frac{4{,}37}{28{,}02} \approx 0{,}1560\\ \mathrm{mol}.
    • Número de moléculas \mathrm{N_{2}}:
    N_{\mathrm{N_{2}}} = n_{\mathrm{N_{2}}}\cdot N_A \approx 0{,}1560\times6{,}022\times10^{23} \approx 9{,}39\times10^{22}\\ \text{moléculas de N}_{2}.é

Resposta

E.20: Não; a fração em massa de \mathrm{H_{2}O} estimada a partir da densidade é aproximadamente 9{,}60\%, muito maior que 2\%.
E.21:
(a) n \approx 0{,}0981\\ \mathrm{mol}; N \approx 5{,}91\times10^{22} unidades-formula de \mathrm{Al_{2}O_{3}}.
(b) n \approx 1{,}296\times10^{-3}\\ \mathrm{mol}; N \approx 7{,}80\times10^{20} moléculas de HF.
(c) n \approx 4{,}558\times10^{-5}\\ \mathrm{mol}; N \approx 2{,}75\times10^{19} moléculas de \mathrm{H_{2}O_{2}}.
(d) n \approx 6{,}937\\ \mathrm{mol}; N \approx 4{,}18\times10^{24} moléculas de \mathrm{C_{6}H_{12}O_{6}}.
(e) como átomos de N: n \approx 0{,}3120\\ \mathrm{mol}; N \approx 1{,}88\times10^{23} átomos de N.
como moléculas \mathrm{N_{2}}: n \approx 0{,}1560\\ \mathrm{mol}; N \approx 9{,}39\times10^{22} moléculas de \mathrm{N_{2}}.

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