(18) O que é a combinação linear de dois vetores? Dê um exemplo.
(19) Com dois vetores do \mathbb{R}^{2} como geramos outros vetores desse espaço?
(20) Com dois vetores do \mathbb{R}^{3} como geramos outros vetores desse espaço?

Passo 1

O enunciado faz três perguntas claras:
  • (18) O que é a combinação linear de dois vetores? Dê um exemplo.
  • (19) Com dois vetores do \mathbb{R}^{2} como geramos outros vetores desse espaço?
  • (20) Com dois vetores do \mathbb{R}^{3} como geramos outros vetores desse espaço?
Informações dadas (implícitas no enunciado):
  • Os objetos são vetores em \mathbb{R}^{2} ou \mathbb{R}^{3}.
  • Não foram dadas vetores específicos; portanto vou explicar a definição, dar exemplos numéricos e explicar os casos possíveis (quando geram tudo, quando geram só uma linha, etc.).

Passo 2

Definição passo a passo: o que é combinação linear de dois vetores.
  • Seja u e v vetores de um espaço vetorial (por exemplo \mathbb{R}^{2} ou \mathbb{R}^{3}).
  • Uma combinação linear de u e v é qualquer vetor da forma
\alpha u + \beta v
onde \alpha e \beta são números reais (escalares).
Expliquei as letras: u e v são vetores; \alpha,\beta\in\mathbb{R} são os coeficientes escalares que eu escolho.
  • A ideia intuitiva: pego u, multiplico por um número, pego v, multiplico por outro número, e somo os dois resultados — o resultado é uma combinação linear.

Passo 3

Exemplo numérico em \mathbb{R}^{2} — mostro cada conta para você conseguir fazer na prova.
  • Escolho
u=(1,2),\qquad v=(3,-1).
  • Escolho coeficientes \alpha=2 e \beta=-1.
  • Calculo \alpha u:
2u = 2(1,2) = (2\cdot1,\,2\cdot2) = (2,4).
  • Calculo \beta v:
-1\cdot v = -1(3,-1) = (-3,\,1).
  • Somando:
2u + (-1)v = (2,4)+(-3,1) = (2-3,\,4+1) = (-1,5).
Logo (-1,5) é uma combinação linear de u e v. Isso ilustra concretamente o conceito.

Passo 4

Definição útil: espaço gerado (ou span).
  • O conjunto de todas as combinações lineares de u e v é chamado de espaço gerado por u e v, e escrevemos
\operatorname{span}\{u,v\}=\{\alpha u+\beta v \mid \alpha,\beta\in\mathbb{R}\}.
  • Na prática, dizer “gerar” significa: pegando todas as combinações lineares possíveis, quais vetores eu consigo formar?

Passo 5

Caso \mathbb{R}^{2}: possibilidades e como gerar tudo ou só uma linha.
  • Se u e v não são múltiplos um do outro (ou seja, não estão na mesma reta passando pela origem), então eles são linearmente independentes e
\operatorname{span}\{u,v\}=\mathbb{R}^{2}.
Isto significa que qualquer vetor (x,y)\in\mathbb{R}^{2} pode ser escrito como \alpha u+\beta v para algum \alpha,\beta. No exame, um teste rápido: verificar se u é proporcional a v. Se não for, então geram \mathbb{R}^{2}.
  • Se u e v são múltiplos (colineares), por exemplo v= c u para algum c\in\mathbb{R}, então
\operatorname{span}\{u,v\}=\{\lambda u \mid \lambda\in\mathbb{R}\},
ou seja, apenas a reta (linha) através da origem com direção u. Exemplo: u=(1,2), v=(2,4) geram só a reta \{t(1,2)\}.

Passo 6

Exemplo em \mathbb{R}^{2} mostrando como representar um vetor qualquer cuando geram o espaço.
  • Tome u=(1,0) e v=(0,1) (os vetores canônicos). Queremos (x,y).
  • Procuramos \alpha,\beta tais que
\alpha(1,0)+\beta(0,1)=(x,y).
Comparando componentes obtemos \alpha=x e \beta=y. Portanto qualquer (x,y) é gerado: (x,y)=x(1,0)+y(0,1). Na prova, usar os vetores canônicos deixa tudo óbvio.

Passo 7

Caso \mathbb{R}^{3}: possibilidades com dois vetores.
  • Com dois vetores u,v\in\mathbb{R}^{3} as possibilidades são:
    • Se u e v são proporcionais (colineares), então \operatorname{span}\{u,v\} é uma reta através da origem (mesmo caso da dimensão 2).
    • Se u e v não são proporcionais (ou seja, não estão na mesma reta), então \operatorname{span}\{u,v\} é um plano através da origem (todos os vetores que podem ser escritos como \alpha u+\beta v formam um plano).
    • Dois vetores jamais geram todo \mathbb{R}^{3} a menos que haja um terceiro vetor independente — para gerar \mathbb{R}^{3} são necessários pelo menos três vetores linearmente independentes.
  • Exemplo concreto: u=(1,0,0), v=(0,1,0). Então
\operatorname{span}\{u,v\}=\{(x,y,0)\mid x,y\in\mathbb{R}\},
que é o plano xy (o conjunto de vetores com terceira componente zero). Mostro por conta: \alpha u+\beta v=(\alpha,\beta,0).

Passo 8

Teste prático de dependência (coisa para fazer rápido na prova).
  • Para dois vetores u=(u_1,u_2,\dots) e v=(v_1,v_2,\dots), um jeito rápido de checar se são proporcionais é ver se existe c tal que u_i = c v_i para todas as componentes i. Se existir tal c, são colineares; caso contrário, não são.
  • Em \mathbb{R}^{2} isso é simples: u=(a,b), v=(c,d) são proporcionais se e somente se ad=bc. Se ad\neq bc, então geram \mathbb{R}^{2}.

Passo 9

Resumo operacional para a prova (passo-a-passo curto que você pode decorar):
  • Para (18): combinar os vetores com coeficientes escalares \alpha u+\beta v.
  • Para (19): em \mathbb{R}^{2}, se os vetores não são múltiplos, eles geram todo \mathbb{R}^{2}; se são múltiplos, geram só uma reta.
  • Para (20): em \mathbb{R}^{3}, dois vetores geram um plano (se não colineares) ou uma reta (se colineares); nunca todo \mathbb{R}^{3} com apenas dois vetores independentes — precisa de três vetores independentes para isso.

Resposta

(18) Uma combinação linear de dois vetores u e v é qualquer vetor da forma \alpha u+\beta v, com \alpha,\beta\in\mathbb{R}. Ex.: com u=(1,2), v=(3,-1), a combinação 2u-1v vale (-1,5).
(19) Em \mathbb{R}^{2}, as combinações lineares de dois vetores formam \operatorname{span}\{u,v\}; se u e v não são múltiplos entre si então \operatorname{span}\{u,v\}=\mathbb{R}^{2} (geram todo o plano), caso contrário geram apenas uma reta.
(20) Em \mathbb{R}^{3}, as combinações lineares de dois vetores geram ou uma reta (se são colineares) ou um plano através da origem (se não são colineares); dois vetores não podem gerar todo \mathbb{R}^{3} a menos que se acrescente um terceiro vetor linearmente independente.

Exercícios relacionados