(18) O que é a combinação linear de dois vetores? Dê um exemplo.
(19) Com dois vetores do
como geramos outros vetores desse espaço?
(20) Com dois vetores do
como geramos outros vetores desse espaço?
(19) Com dois vetores do
(20) Com dois vetores do
Passo 1
O enunciado faz três perguntas claras:
- (18) O que é a combinação linear de dois vetores? Dê um exemplo.
- (19) Com dois vetores do
como geramos outros vetores desse espaço? - (20) Com dois vetores do
como geramos outros vetores desse espaço?
Informações dadas (implícitas no enunciado):
- Os objetos são vetores em
ou . - Não foram dadas vetores específicos; portanto vou explicar a definição, dar exemplos numéricos e explicar os casos possíveis (quando geram tudo, quando geram só uma linha, etc.).
Passo 2
Definição passo a passo: o que é combinação linear de dois vetores.
- Seja
e vetores de um espaço vetorial (por exemplo ou ). - Uma combinação linear de
e é qualquer vetor da forma
onde
e
são números reais (escalares).
Expliquei as letras: e
são vetores;
são os coeficientes escalares que eu escolho.
Expliquei as letras:
- A ideia intuitiva: pego
, multiplico por um número, pego , multiplico por outro número, e somo os dois resultados — o resultado é uma combinação linear.
Passo 3
Exemplo numérico em
— mostro cada conta para você conseguir fazer na prova.
- Escolho
- Escolho coeficientes
e . - Calculo
:
- Calculo
:
- Somando:
Logo
é uma combinação linear de
e
. Isso ilustra concretamente o conceito.
Passo 4
Definição útil: espaço gerado (ou span).
- O conjunto de todas as combinações lineares de
e é chamado de espaço gerado por e , e escrevemos
- Na prática, dizer “gerar” significa: pegando todas as combinações lineares possíveis, quais vetores eu consigo formar?
Passo 5
Caso
: possibilidades e como gerar tudo ou só uma linha.
- Se
e não são múltiplos um do outro (ou seja, não estão na mesma reta passando pela origem), então eles são linearmente independentes e
Isto significa que qualquer vetor
pode ser escrito como
para algum
. No exame, um teste rápido: verificar se
é proporcional a
. Se não for, então geram
.
- Se
e são múltiplos (colineares), por exemplo para algum , então
ou seja, apenas a reta (linha) através da origem com direção
. Exemplo:
,
geram só a reta
.
Passo 6
Exemplo em
mostrando como representar um vetor qualquer cuando geram o espaço.
- Tome
e (os vetores canônicos). Queremos . - Procuramos
tais que
Comparando componentes obtemos
e
. Portanto qualquer
é gerado:
. Na prova, usar os vetores canônicos deixa tudo óbvio.
Passo 7
Caso
: possibilidades com dois vetores.
- Com dois vetores
as possibilidades são: - Se
e são proporcionais (colineares), então é uma reta através da origem (mesmo caso da dimensão 2). - Se
e não são proporcionais (ou seja, não estão na mesma reta), então é um plano através da origem (todos os vetores que podem ser escritos como formam um plano). - Dois vetores jamais geram todo
a menos que haja um terceiro vetor independente — para gerar são necessários pelo menos três vetores linearmente independentes.
- Se
- Exemplo concreto:
, . Então
que é o plano
(o conjunto de vetores com terceira componente zero). Mostro por conta:
.
Passo 8
Teste prático de dependência (coisa para fazer rápido na prova).
- Para dois vetores
e , um jeito rápido de checar se são proporcionais é ver se existe tal que para todas as componentes . Se existir tal , são colineares; caso contrário, não são. - Em
isso é simples: , são proporcionais se e somente se . Se , então geram .
Passo 9
Resumo operacional para a prova (passo-a-passo curto que você pode decorar):
- Para (18): combinar os vetores com coeficientes escalares
. - Para (19): em
, se os vetores não são múltiplos, eles geram todo ; se são múltiplos, geram só uma reta. - Para (20): em
, dois vetores geram um plano (se não colineares) ou uma reta (se colineares); nunca todo com apenas dois vetores independentes — precisa de três vetores independentes para isso.
Resposta
(18) Uma combinação linear de dois vetores
e
é qualquer vetor da forma
, com
. Ex.: com
,
, a combinação
vale
.
(19) Em , as combinações lineares de dois vetores formam
; se
e
não são múltiplos entre si então
(geram todo o plano), caso contrário geram apenas uma reta.
(20) Em , as combinações lineares de dois vetores geram ou uma reta (se são colineares) ou um plano através da origem (se não são colineares); dois vetores não podem gerar todo
a menos que se acrescente um terceiro vetor linearmente independente.
(19) Em
(20) Em